Γιατί χρησιμοποιούνται μιγαδικοί αριθμοί για υπολογισμούς σε κυκλώματα AC

Όπως γνωρίζετε, οι μιγαδικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για την επίλυση ορισμένων τυπικών προβλημάτων στην ηλεκτρική μηχανική. Σε τι χρησιμεύουν όμως και γιατί γίνεται με αυτόν τον τρόπο; Αυτό θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε στην πορεία αυτού του άρθρου. Το γεγονός είναι ότι η σύνθετη μέθοδος ή η μέθοδος σύνθετων πλατών είναι βολική για τον υπολογισμό σύνθετων κυκλωμάτων AC. Και για να ξεκινήσουμε, ας θυμηθούμε μερικά βασικά των μαθηματικών:

Όπως μπορείτε να δείτε, ο μιγαδικός αριθμός z περιλαμβάνει το φανταστικό μέρος και το πραγματικό μέρος, τα οποία διαφέρουν μεταξύ τους και συμβολίζονται διαφορετικά στο κείμενο. Ο ίδιος ο μιγαδικός αριθμός z μπορεί να γραφτεί σε αλγεβρική, τριγωνομετρική ή εκθετική μορφή:

Ιστορικό υπόβαθρο

Πιστεύεται ότι η ιδέα των φανταστικών αριθμών ξεκίνησε το 1545, όταν ο Ιταλός μαθηματικός, μηχανικός, φιλόσοφος, γιατρός και αστρολόγος Girolamo Cardano δημοσίευσε αυτή τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων στην πραγματεία του "The Great Art", όπου, μεταξύ άλλων , παραδέχτηκε ότι ο Niccolò του είχε δώσει την ιδέα στον Tartaglia (Ιταλό μαθηματικό) 6 χρόνια πριν από τη δημοσίευση αυτού του έργου. Στο έργο του, ο Kradano λύνει εξισώσεις της μορφής:

Στη διαδικασία επίλυσης αυτών των εξισώσεων, ο επιστήμονας αναγκάστηκε να παραδεχτεί την ύπαρξη κάποιου «εξωπραγματικού» αριθμού, το τετράγωνο του οποίου θα είναι ίσο με μείον ένα «-1», δηλαδή σαν να υπάρχει μια τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικός αριθμός, και αν είναι τώρα στο τετράγωνο, θα αποδειχθεί ο αντίστοιχος αρνητικός αριθμός κάτω από τη ρίζα. Ο Cardano δήλωσε τον κανόνα του πολλαπλασιασμού, σύμφωνα με τον οποίο:

Για τρεις αιώνες, η μαθηματική κοινότητα βρισκόταν στη διαδικασία να συνηθίσει τη νέα προσέγγιση που πρότεινε ο Cardano. Οι φανταστικοί αριθμοί ριζώνουν σταδιακά, αλλά οι μαθηματικοί διστάζουν να δεχτούν. Μέχρι τη δημοσίευση των έργων του Gauss για την άλγεβρα, όπου απέδειξε το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, ότι οι μιγαδικοί αριθμοί έγιναν τελικά πλήρως αποδεκτοί, ο 19ος αιώνας ήταν κοντά.

Οι φανταστικοί αριθμοί έγιναν μια πραγματική σωτηρία για τους μαθηματικούς επειδή τα πιο σύνθετα προβλήματα έγιναν πολύ πιο εύκολο να λυθούν αποδεχόμενοι την ύπαρξη φανταστικών αριθμών.

Σύντομα λοιπόν έφτασε στην ηλεκτρολογική μηχανική. Τα κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος ήταν μερικές φορές πολύ περίπλοκα και έπρεπε να υπολογιστούν πολλά ολοκληρώματα για τον υπολογισμό τους, κάτι που συχνά ήταν πολύ άβολο.

Τέλος, το 1893, ο λαμπρός ηλεκτρολόγος μηχανικός Carl August Steinmetz μίλησε στο Σικάγο στο Διεθνές Ηλεκτροτεχνικό Συνέδριο με μια έκθεση «Οι σύνθετοι αριθμοί και η εφαρμογή τους στην ηλεκτρική μηχανική», που ουσιαστικά σηματοδότησε την αρχή της πρακτικής εφαρμογής από τους μηχανικούς της πολύπλοκης μεθόδου υπολογισμός ηλεκτρικών κυκλωμάτων για εναλλασσόμενο ρεύμα.

Αυτό το γνωρίζουμε από το μάθημα της φυσικής εναλλασσόμενο ρεύμα — αυτό είναι ένα ρεύμα που αλλάζει με την πάροδο του χρόνου τόσο σε μέγεθος όσο και σε κατεύθυνση.

Στην τεχνολογία, υπάρχουν διάφορες μορφές εναλλασσόμενου ρεύματος, αλλά το πιο συνηθισμένο σήμερα είναι το εναλλασσόμενο ημιτονοειδές ρεύμα, αυτό χρησιμοποιείται παντού, με τη βοήθεια του οποίου μεταδίδεται ηλεκτρική ενέργεια, με τη μορφή εναλλασσόμενου ρεύματος, το οποίο παράγεται, μετατρέπεται από μετασχηματιστές και καταναλώνεται από φορτία. Ένα ημιτονοειδές ρεύμα αλλάζει περιοδικά σύμφωνα με έναν ημιτονοειδές (αρμονικό) νόμο.

Οι ενεργές τιμές του ρεύματος και της τάσης είναι μικρότερες από τις τιμές πλάτους της ρίζας δύο φορές:

Στη σύνθετη μέθοδο, οι ενεργές τιμές των ρευμάτων και των τάσεων γράφονται ως εξής:

Σημειώστε ότι στην ηλεκτρική μηχανική, η φανταστική μονάδα συμβολίζεται με το γράμμα «j», αφού το γράμμα «i» χρησιμοποιείται ήδη εδώ για να δηλώσει το ρεύμα.

Από Νόμος του Ohm καθορίζει τη μιγαδική τιμή της αντίστασης:

Η πρόσθεση και η αφαίρεση των μιγαδικών τιμών γίνεται σε αλγεβρική μορφή και ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση σε εκθετική μορφή.

Ας εξετάσουμε τη μέθοδο σύνθετων πλατών χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός συγκεκριμένου κυκλώματος με ορισμένες τιμές των κύριων παραμέτρων.

Παράδειγμα επίλυσης προβλήματος με χρήση μιγαδικών αριθμών

Δεδομένος:

• τάση πηνίου 50 V,

• αντίσταση αντίστασης 25 Ohm,

• αυτεπαγωγή πηνίου 500 mH,

• η ηλεκτρική χωρητικότητα του πυκνωτή είναι 30 microfarads,

• αντίσταση πηνίου 10 Ohm,

• συχνότητα δικτύου 50 Hz.

Βρείτε: ενδείξεις αμπερόμετρου και βολτόμετρου καθώς και βατόμετρο.

Απάντηση:

Αρχικά, σημειώνουμε τη σύνθετη αντίσταση των στοιχείων που συνδέονται σε σειρά, η οποία αποτελείται από πραγματικά και φανταστικά μέρη και, στη συνέχεια, βρίσκουμε τη σύνθετη αντίσταση ενός ενεργού-επαγωγικού στοιχείου.

Ανάμνηση! Για να λάβετε την εκθετική μορφή, βρείτε το μέτρο z ίσο με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των πραγματικών και φανταστικών μερών και ph ίσο με την εφαπτομένη του πηλίκου του φανταστικού μέρους διαιρούμενο με το πραγματικό μέρος.

Στη συνέχεια βρίσκουμε το ρεύμα και, κατά συνέπεια, τις ενδείξεις του αμπερόμετρου:

Έτσι το αμπερόμετρο δείχνει ένα ρεύμα 0,317 A—αυτό είναι το ρεύμα σε ολόκληρο το κύκλωμα σειράς.

Τώρα θα βρούμε την χωρητική αντίσταση του πυκνωτή και, στη συνέχεια, θα προσδιορίσουμε τη σύνθετη αντίστασή του:

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη συνολική μιγαδική αντίσταση αυτού του κυκλώματος:

Τώρα βρίσκουμε την ενεργή τάση που εφαρμόζεται στο κύκλωμα:

Το βολτόμετρο θα δείξει μια πραγματική τάση 19,5 βολτ.

Τέλος, βρίσκουμε την ισχύ που θα εμφανίσει το βατόμετρο, λαμβάνοντας υπόψη τη διαφορά φάσης μεταξύ ρεύματος και τάσης

Το βατόμετρο θα δείξει 3,51 watt.

Τώρα καταλαβαίνετε πόσο σημαντικοί είναι οι μιγαδικοί αριθμοί στην ηλεκτρική μηχανική. Χρησιμοποιούνται για εύκολο υπολογισμό ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Πολλές ηλεκτρονικές συσκευές μέτρησης λειτουργούν στην ίδια βάση.