Μια συμβολική μέθοδος για τον υπολογισμό των κυκλωμάτων AC

Μια συμβολική μέθοδος πράξεων με διανυσματικά μεγέθη βασίζεται σε μια πολύ απλή ιδέα: κάθε διάνυσμα αποσυντίθεται σε δύο συστατικά: ένα οριζόντιο, που περνά κατά μήκος της τετμημένης και το δεύτερο, κατακόρυφο, που περνά κατά μήκος της τεταγμένης. Σε αυτή την περίπτωση, όλα τα οριζόντια στοιχεία ακολουθούν μια ευθεία γραμμή και μπορούν να προστεθούν με απλή αλγεβρική πρόσθεση και τα κατακόρυφα στοιχεία προστίθενται με τον ίδιο τρόπο.

Αυτή η προσέγγιση γενικά έχει ως αποτέλεσμα δύο συνιστώσες που προκύπτουν, ένα οριζόντιο και ένα κατακόρυφο, τα οποία είναι πάντα γειτονικά το ένα με το άλλο στην ίδια γωνία 90°.

Αυτά τα στοιχεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση του αποτελέσματος, δηλαδή για γεωμετρική προσθήκη. Οι ορθογώνιες συνιστώσες αντιπροσωπεύουν τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου και το γεωμετρικό τους άθροισμα αντιπροσωπεύει την υποτείνουσα.

Μπορείτε επίσης να πείτε ότι το γεωμετρικό άθροισμα είναι αριθμητικά ίσο με τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου χτισμένου στις συνιστώσες καθώς και στις πλευρές του... Αν η οριζόντια συνιστώσα συμβολίζεται με ΑΓ και η κατακόρυφη με ΑΒ, τότε το γεωμετρικό άθροισμα ( 1)

Η εύρεση του γεωμετρικού αθροίσματος ορθογωνίων τριγώνων είναι πολύ πιο εύκολη από τα λοξά τρίγωνα. Είναι εύκολο να δεις ότι (2)

γίνεται (1) εάν η γωνία μεταξύ των στοιχείων είναι 90 °. Εφόσον cos 90 = 0, ο τελευταίος όρος στη ριζική έκφραση (2) εξαφανίζεται, με αποτέλεσμα η έκφραση να απλοποιείται πολύ. Σημειώστε ότι μία από τις τρεις λέξεις πρέπει να προστεθεί πριν από τη λέξη "άθροισμα": "αριθμητική", "αλγεβρική", "γεωμετρική".

Σύκο. 1.

Η λέξη "ποσό" χωρίς να διευκρινίζεται τι οδηγεί σε αβεβαιότητα και σε ορισμένες περιπτώσεις σε χονδροειδή λάθη.

Θυμηθείτε ότι το διάνυσμα που προκύπτει είναι ίσο με το αριθμητικό άθροισμα των διανυσμάτων στην περίπτωση που όλα τα διανύσματα κινούνται κατά μήκος μιας ευθείας (ή παράλληλα μεταξύ τους) στην ίδια κατεύθυνση. Επιπλέον, όλα τα διανύσματα έχουν πρόσημο συν (Εικ. 1, α).

Εάν τα διανύσματα κινούνται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής αλλά δείχνουν προς αντίθετες κατευθύνσεις, τότε το αποτέλεσμά τους είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των διανυσμάτων, οπότε ορισμένοι όροι έχουν πρόσημο συν και άλλοι έχουν πρόσημο μείον.

Για παράδειγμα, στο διάγραμμα του σχ. 1, b U6 = U4 — U5. Μπορούμε επίσης να πούμε ότι το αριθμητικό άθροισμα χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι μηδέν, αλγεβρική όταν οι γωνίες είναι 0 και 180 °. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, η πρόσθεση πραγματοποιείται διανυσματικά, δηλαδή προσδιορίζεται το γεωμετρικό άθροισμα (Εικ. 1, γ).

Παράδειγμα... Προσδιορίστε τις παραμέτρους του ισοδύναμου ημιτονοειδούς κύματος για το κύκλωμα Εικ. 2, αλλά συμβολικό.

Απάντηση. Ας σχεδιάσουμε διανύσματα Um1 Um2 και ας τα αποσυνθέσουμε σε συνιστώσες. Μπορεί να φανεί από το σχέδιο ότι κάθε οριζόντια συνιστώσα είναι η διανυσματική τιμή πολλαπλασιασμένη με το συνημίτονο της γωνίας φάσης και η κατακόρυφη είναι η διανυσματική τιμή πολλαπλασιασμένη με το ημίτονο της γωνίας φάσης. Επειτα

Σύκο. 2.

Προφανώς, οι συνολικές οριζόντιες και κάθετες συνιστώσες είναι ίσες με τα αλγεβρικά αθροίσματα των αντίστοιχων συνιστωσών. Επειτα

Τα συστατικά που προκύπτουν φαίνονται στο Σχ. 2, β. Προσδιορίστε την τιμή του Um για αυτό, υπολογίστε το γεωμετρικό άθροισμα των δύο συνιστωσών:

Προσδιορίστε την ισοδύναμη γωνία φάσης ψeq. Σύκο. 2, b, φαίνεται ότι ο λόγος της κατακόρυφης προς την οριζόντια συνιστώσα είναι η εφαπτομένη της ισοδύναμης γωνίας φάσης.

που

Το ημιτονοειδές που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο έχει πλάτος 22,4 V, αρχική φάση 33,5 ° με την ίδια περίοδο με τα εξαρτήματα. Σημειώστε ότι μπορούν να προστεθούν μόνο ημιτονοειδή κύματα της ίδιας συχνότητας, γιατί όταν προσθέτουμε καμπύλες ημιτονοειδούς διαφορετικών συχνοτήτων, η καμπύλη που προκύπτει παύει να είναι ημιτονοειδές και όλες οι έννοιες που ισχύουν μόνο για αρμονικά σήματα καθίστανται άκυρες σε αυτήν την περίπτωση.

Ας δούμε ξανά ολόκληρη την αλυσίδα των μετασχηματισμών που πρέπει να γίνουν με τις μαθηματικές περιγραφές των αρμονικών κυματομορφών κατά την εκτέλεση διαφόρων υπολογισμών.

Αρχικά, οι χρονικές συναρτήσεις αντικαθίστανται από διανυσματικές εικόνες, στη συνέχεια κάθε διάνυσμα αποσυντίθεται σε δύο αμοιβαία κάθετες συνιστώσες, στη συνέχεια υπολογίζονται χωριστά οι οριζόντιες και κατακόρυφες συνιστώσες και τέλος καθορίζονται οι τιμές του διανύσματος που προκύπτει και η αρχική του φάση.

Αυτή η μέθοδος υπολογισμού εξαλείφει την ανάγκη γραφικής προσθήκης (και σε ορισμένες περιπτώσεις εκτέλεσης πιο σύνθετων λειτουργιών, για παράδειγμα, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης, εξαγωγής ριζών κ.λπ.) ημιτονοειδών καμπυλών και προσφυγής σε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τύπους λοξών τριγώνων.

Ωστόσο, είναι μάλλον επαχθές να υπολογιστούν χωριστά τα οριζόντια και τα κατακόρυφα στοιχεία της λειτουργίας.Σε τέτοιους υπολογισμούς, είναι πολύ βολικό να έχετε μια τέτοια μαθηματική συσκευή με την οποία μπορείτε να υπολογίσετε και τα δύο συστατικά ταυτόχρονα.

Ήδη στα τέλη του περασμένου αιώνα, αναπτύχθηκε μια μέθοδος που επιτρέπει ταυτόχρονους υπολογισμούς αριθμών που απεικονίζονται σε αμοιβαία κάθετους άξονες. Οι αριθμοί στον οριζόντιο άξονα ονομάζονταν πραγματικοί και οι αριθμοί στον κατακόρυφο άξονα ονομάζονταν φανταστικοί. Κατά τον υπολογισμό αυτών των αριθμών, ένας παράγοντας ± 1 προστίθεται στους πραγματικούς αριθμούς και ± j στους φανταστικούς αριθμούς (διαβάστε "xi"). Οι αριθμοί που αποτελούνται από πραγματικά και φανταστικά μέρη λέγονται συγκρότημα, και η μέθοδος των υπολογισμών που εκτελούνται με τη βοήθειά τους είναι συμβολική.

Ας εξηγήσουμε τον όρο «συμβολικό». Οι συναρτήσεις που πρόκειται να υπολογιστούν (αρμονικές σε αυτήν την περίπτωση) είναι πρωτότυπες και οι εκφράσεις που αντικαθιστούν τα πρωτότυπα είναι εικόνες ή σύμβολα.

Κατά τη χρήση της συμβολικής μεθόδου, όλοι οι υπολογισμοί δεν εκτελούνται στα ίδια τα πρωτότυπα, αλλά στα σύμβολά τους (εικόνες), τα οποία στην περίπτωσή μας αντιπροσωπεύουν τους αντίστοιχους μιγαδικούς αριθμούς, καθώς είναι πολύ πιο εύκολο να γίνουν πράξεις σε εικόνες παρά στα ίδια τα πρωτότυπα.

Αφού ολοκληρωθούν όλες οι λειτουργίες εικόνας, το πρωτότυπο που αντιστοιχεί στην εικόνα που προκύπτει εγγράφεται στην εικόνα που προκύπτει. Οι περισσότεροι από τους υπολογισμούς στα ηλεκτρικά κυκλώματα γίνονται με τη συμβολική μέθοδο.