Ροή και κυκλοφορία διανυσματικού πεδίου

N Βασισμένο στο υλικό διάλεξης του Richard Feynman

Όταν περιγράφουμε τους νόμους του ηλεκτρισμού ως προς τα διανυσματικά πεδία, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με δύο μαθηματικά σημαντικά χαρακτηριστικά του διανυσματικού πεδίου: τη ροή και την κυκλοφορία. Θα ήταν ωραίο να καταλάβουμε ποιες είναι αυτές οι μαθηματικές έννοιες και ποια είναι η πρακτική σημασία τους.

Το δεύτερο μέρος της ερώτησης είναι εύκολο να απαντηθεί αμέσως, επειδή οι έννοιες της ροής και της κυκλοφορίας βρίσκονται στην καρδιά του Οι εξισώσεις του Maxwell, στην οποία στηρίζεται ουσιαστικά όλη η σύγχρονη ηλεκτροδυναμική.

Έτσι, για παράδειγμα, ο νόμος της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: η κυκλοφορία του ηλεκτρικού πεδίου Ε κατά μήκος ενός κλειστού βρόχου C είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής της ροής του μαγνητικού πεδίου Β μέσω της επιφάνειας S που οριοθετείται από αυτό βρόχος Β.

Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε πολύ απλά, χρησιμοποιώντας παραδείγματα καθαρών ρευστών, πώς προσδιορίζονται μαθηματικά τα χαρακτηριστικά πεδίου, από τα οποία λαμβάνονται και λαμβάνονται αυτά τα χαρακτηριστικά πεδίου.

Διανυσματική ροή πεδίου

Αρχικά, ας σχεδιάσουμε μια ορισμένη κλειστή επιφάνεια εντελώς αυθαίρετου σχήματος γύρω από την υπό μελέτη περιοχή. Αφού απεικονίσουμε αυτή την επιφάνεια, ρωτάμε αν το αντικείμενο μελέτης, που ονομάζουμε πεδίο, ρέει μέσα από αυτήν την κλειστή επιφάνεια. Για να καταλάβετε περί τίνος πρόκειται, εξετάστε ένα απλό υγρό παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι ερευνούμε το πεδίο ταχύτητας ενός συγκεκριμένου ρευστού. Για ένα τέτοιο παράδειγμα, είναι λογικό να αναρωτηθούμε: διέρχεται περισσότερο ρευστό από αυτήν την επιφάνεια ανά μονάδα χρόνου από ό,τι ρέει στον όγκο που οριοθετείται από αυτήν την επιφάνεια; Με άλλα λόγια, ο ρυθμός εκροής κατευθύνεται πάντα κυρίως από μέσα προς τα έξω;

Με την έκφραση "διανυσματική ροή πεδίου" (και για το παράδειγμά μας η έκφραση "ροή ταχύτητας ρευστού" θα είναι πιο ακριβής), θα συμφωνήσουμε να ονομάσουμε τη συνολική ποσότητα φανταστικού ρευστού που ρέει μέσω της επιφάνειας του εξεταζόμενου όγκου που οριοθετείται από ένα δεδομένο κλειστή επιφάνεια (για τον ρυθμό ροής του ρευστού, πόσο υγρό ακολουθεί από τον όγκο ανά μονάδα χρόνου).

Ως αποτέλεσμα, η ροή μέσω του επιφανειακού στοιχείου θα είναι ίση με το γινόμενο της περιοχής του επιφανειακού στοιχείου από την κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας. Τότε η συνολική (ολική) ροή σε όλη την επιφάνεια θα είναι ίση με το γινόμενο της μέσης κανονικής συνιστώσας της ταχύτητας, την οποία θα μετρήσουμε από μέσα προς τα έξω, με τη συνολική επιφάνεια.

Τώρα πίσω στο ηλεκτρικό πεδίο. Το ηλεκτρικό πεδίο, φυσικά, δεν μπορεί να θεωρηθεί η ταχύτητα της ροής κάποιου υγρού, αλλά δικαιούμαστε να εισαγάγουμε μια μαθηματική έννοια της ροής, παρόμοια με αυτή που περιγράψαμε παραπάνω ως τη ροή της ταχύτητας του υγρού.

Μόνο στην περίπτωση ηλεκτρικού πεδίου, η ροή του μπορεί να προσδιοριστεί από τη μέση κανονική συνιστώσα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Ε. Επιπλέον, η ροή του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να προσδιοριστεί όχι απαραίτητα μέσω μιας κλειστής επιφάνειας, αλλά μέσω οποιασδήποτε οριοθετημένης επιφάνειας μη μηδενικού εμβαδού S .

Κυκλοφορία διανυσματικού πεδίου

Είναι γνωστό σε όλους ότι, για μεγαλύτερη σαφήνεια, τα πεδία μπορούν να απεικονιστούν με τη μορφή των λεγόμενων γραμμών δύναμης, σε κάθε σημείο των οποίων η κατεύθυνση της εφαπτομένης συμπίπτει με την κατεύθυνση της έντασης του πεδίου.

Ας επιστρέψουμε στην αναλογία του ρευστού και ας φανταστούμε το πεδίο ταχύτητας του ρευστού Ας αναρωτηθούμε: κυκλοφορεί το ρευστό; Δηλαδή κινείται κυρίως προς την κατεύθυνση κάποιου φανταστικού κλειστού βρόχου;

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, φανταστείτε ότι το υγρό σε ένα μεγάλο δοχείο κινείται με κάποιο τρόπο (Εικ. Α) και ξαφνικά παγώσαμε σχεδόν όλο τον όγκο του, αλλά καταφέραμε να αφήσουμε τον όγκο ξεπαγωμένο με τη μορφή ενός ομοιόμορφα κλειστού σωλήνα στον οποίο δεν υπάρχει τριβή του υγρού στα τοιχώματα (εικ. β).

Έξω από αυτόν τον σωλήνα, το υγρό έχει μετατραπεί σε πάγο και επομένως δεν μπορεί πλέον να κινηθεί, αλλά μέσα στον σωλήνα το υγρό μπορεί να συνεχίσει την κίνησή του, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει μια επικρατούσα ορμή που το οδηγεί, για παράδειγμα, προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού (Εικ. . ° C). Τότε το γινόμενο της ταχύτητας του ρευστού στο σωλήνα και του μήκους του σωλήνα θα ονομάζεται κυκλοφορία της ταχύτητας του ρευστού.

Παρομοίως, μπορούμε να ορίσουμε μια κυκλοφορία για ένα διανυσματικό πεδίο, αν και και πάλι το πεδίο δεν μπορούμε να πούμε ότι είναι η ταχύτητα οποιουδήποτε άλλου, μπορούμε ωστόσο να ορίσουμε το μαθηματικό χαρακτηριστικό της "κυκλοφορίας" κατά μήκος ενός περιγράμματος.

Έτσι, η κυκλοφορία ενός διανυσματικού πεδίου κατά μήκος ενός φανταστικού κλειστού βρόχου μπορεί να οριστεί ως το γινόμενο της μέσης εφαπτομενικής συνιστώσας του διανύσματος προς την κατεύθυνση της διέλευσης του βρόχου — από το μήκος του βρόχου.