Οι εξισώσεις του Maxwell για ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο — οι βασικοί νόμοι της ηλεκτροδυναμικής
Το σύστημα των εξισώσεων του Maxwell οφείλει το όνομα και την εμφάνισή του στον James Clerk Maxwell, ο οποίος διατύπωσε και έγραψε αυτές τις εξισώσεις στα τέλη του 19ου αιώνα.
Maxwell James Clark (1831 - 1879) είναι διάσημος Βρετανός φυσικός και μαθηματικός, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ στην Αγγλία.
Πρακτικά συνδύασε στις εξισώσεις του όλα τα πειραματικά αποτελέσματα που ελήφθησαν εκείνη την εποχή για τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό και έδωσε στους νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού μια σαφή μαθηματική μορφή. Οι βασικοί νόμοι της ηλεκτροδυναμικής (εξισώσεις Maxwell) διατυπώθηκαν το 1873.
Ο Maxwell ανέπτυξε το δόγμα του Faraday για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε μια συνεκτική μαθηματική θεωρία, από την οποία προκύπτει η δυνατότητα διάδοσης κυμάτων ηλεκτρομαγνητικών διεργασιών. Αποδείχθηκε ότι η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών διεργασιών είναι ίση με την ταχύτητα του φωτός (η τιμή του οποίου ήταν ήδη γνωστή από πειράματα).
Αυτή η σύμπτωση χρησίμευσε ως βάση για να εκφράσει ο Maxwell την ιδέα της κοινής φύσης των ηλεκτρομαγνητικών και των φωτεινών φαινομένων, δηλ. για την ηλεκτρομαγνητική φύση του φωτός.
Η θεωρία των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων, που δημιουργήθηκε από τον Τζέιμς Μάξγουελ, βρήκε την πρώτη της επιβεβαίωση στα πειράματα του Χερτζ, ο οποίος απέκτησε πρώτος Ηλεκτρομαγνητικά κύματα.
Ως αποτέλεσμα, αυτές οι εξισώσεις έπαιξαν σημαντικό ρόλο στο σχηματισμό ακριβών αναπαραστάσεων της κλασικής ηλεκτροδυναμικής. Οι εξισώσεις του Maxwell μπορούν να γραφτούν σε διαφορική ή ολοκληρωμένη μορφή. Στην πράξη, περιγράφουν στη στεγνή γλώσσα των μαθηματικών το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και τη σχέση του με ηλεκτρικά φορτία και ρεύματα στο κενό και σε συνεχή μέσα. Σε αυτές τις εξισώσεις μπορείτε να προσθέσετε έκφραση για τη δύναμη Lorentz, οπότε παίρνουμε ένα πλήρες σύστημα εξισώσεων της κλασικής ηλεκτροδυναμικής.
Για να κατανοήσουμε μερικά από τα μαθηματικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται στις διαφορικές μορφές των εξισώσεων του Maxwell, ας ορίσουμε πρώτα ένα τόσο ενδιαφέρον πράγμα ως τον τελεστή nabla.
Χειριστής Nabla (ή χειριστής Hamilton) Είναι ένας διανυσματικός διαφορικός τελεστής του οποίου οι συνιστώσες είναι μερικές παράγωγοι ως προς τις συντεταγμένες. Για τον πραγματικό μας χώρο, ο οποίος είναι τρισδιάστατος, είναι κατάλληλο ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, για το οποίο ο τελεστής nabla ορίζεται ως εξής:
όπου i, j και k είναι διανύσματα συντεταγμένων μονάδων
Ο τελεστής nabla, όταν εφαρμόζεται σε ένα πεδίο με κάποιο μαθηματικό τρόπο, δίνει τρεις πιθανούς συνδυασμούς. Αυτοί οι συνδυασμοί ονομάζονται:
Βαθμίδα — ένα διάνυσμα, με την κατεύθυνση του να δείχνει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης μιας συγκεκριμένης ποσότητας, η τιμή της οποίας ποικίλλει από το ένα σημείο στο χώρο στο άλλο (κλιμακωτό πεδίο) και σε μέγεθος (μονάδα) είναι ίση με τον ρυθμό αύξησης αυτού ποσότητα προς αυτή την κατεύθυνση.
Απόκλιση (απόκλιση) — ένας διαφορικός τελεστής που αντιστοιχίζει ένα διανυσματικό πεδίο σε ένα βαθμωτό (δηλαδή, ως αποτέλεσμα της εφαρμογής της πράξης διαφοροποίησης σε ένα διανυσματικό πεδίο, προκύπτει ένα βαθμωτό πεδίο), ο οποίος καθορίζει (για κάθε σημείο) "πόσο εισέρχεται το πεδίο και αφήνει μια μικρή γειτονιά ενός δεδομένου σημείου αποκλίνει », πιο συγκεκριμένα πόσο διαφορετικές είναι οι εισροές και οι εκροές.
Ρότορας (στροβιλισμός, περιστροφή) είναι ένας διανυσματικός διαφορικός τελεστής σε ένα διανυσματικό πεδίο.
Τώρα σκέψου ευθέως Οι εξισώσεις του Maxwell σε ολοκληρωμένη (αριστερά) και διαφορική (δεξιά) μορφήπου περιέχει τους θεμελιώδεις νόμους των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων, συμπεριλαμβανομένης της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής.
Ολοκληρωμένη μορφή: η κυκλοφορία του διανύσματος έντασης ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος ενός αυθαίρετου κλειστού βρόχου είναι ευθέως ανάλογη με τον ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής μέσω της περιοχής που οριοθετείται από αυτόν τον βρόχο.
Διαφορική μορφή: κάθε αλλαγή στο μαγνητικό πεδίο παράγει ένα δινοηλεκτρικό πεδίο ανάλογο με τον ρυθμό μεταβολής της επαγωγής του μαγνητικού πεδίου.
Φυσική έννοια: οποιαδήποτε αλλαγή στο μαγνητικό πεδίο με την πάροδο του χρόνου προκαλεί την εμφάνιση ενός ηλεκτρικού πεδίου.
Ολοκληρωμένη μορφή: η ροή επαγωγής του μαγνητικού πεδίου μέσω μιας αυθαίρετης κλειστής επιφάνειας είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν μαγνητικά φορτία στη φύση.
Διαφορική μορφή: η ροή των γραμμών πεδίου επαγωγής ενός μαγνητικού πεδίου άπειρου στοιχειώδους όγκου είναι ίση με μηδέν, αφού το πεδίο είναι δινο.
Φυσική έννοια: στη φύση δεν υπάρχουν πηγές μαγνητικού πεδίου με τη μορφή μαγνητικών φορτίων.
Ολοκληρωμένη μορφή: η κυκλοφορία του διανύσματος έντασης μαγνητικού πεδίου κατά μήκος ενός αυθαίρετου κλειστού βρόχου είναι ευθέως ανάλογη με το συνολικό ρεύμα που διασχίζει την επιφάνεια που καλύπτεται από αυτόν τον βρόχο.
Διαφορική Μορφή: Υπάρχει ένα δινο-μαγνητικό πεδίο γύρω από οποιονδήποτε αγωγό που μεταφέρει ρεύμα και γύρω από οποιοδήποτε εναλλασσόμενο ηλεκτρικό πεδίο.
Φυσική έννοια: η ροή του αγώγιμου ρεύματος μέσω των καλωδίων και οι αλλαγές στο ηλεκτρικό πεδίο με το χρόνο οδηγούν στην εμφάνιση ενός δινικού μαγνητικού πεδίου.
Ολοκληρωμένη μορφή: η ροή του διανύσματος ηλεκτροστατικής επαγωγής μέσω μιας αυθαίρετης κλειστής επιφάνειας που περικλείει τα φορτία είναι ευθέως ανάλογη με το συνολικό φορτίο που βρίσκεται εντός αυτής της επιφάνειας.
Διαφορική μορφή: η ροή του διανύσματος επαγωγής του ηλεκτροστατικού πεδίου από έναν άπειρο στοιχειώδη όγκο είναι ευθέως ανάλογη με το συνολικό φορτίο σε αυτόν τον όγκο.
Φυσική έννοια: η πηγή του ηλεκτρικού πεδίου είναι ένα ηλεκτρικό φορτίο.
Το σύστημα αυτών των εξισώσεων μπορεί να συμπληρωθεί με ένα σύστημα των λεγόμενων εξισώσεων υλικών που χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες του υλικού μέσου που γεμίζει το χώρο:
