Γραφική αναπαράσταση ημιτονοειδών τιμών

Σε οποιοδήποτε γραμμικό κύκλωμα, ανεξάρτητα από τον τύπο των στοιχείων που περιλαμβάνονται στο κύκλωμα, μια αρμονική τάση προκαλεί αρμονικό ρεύμα και αντίστροφα, ένα αρμονικό ρεύμα δημιουργεί τάσεις στους ακροδέκτες αυτών των στοιχείων επίσης με αρμονική μορφή. Σημειώστε ότι η αυτεπαγωγή των πηνίων και η χωρητικότητα των πυκνωτών θεωρούνται επίσης γραμμικές.

Σε μια γενικότερη περίπτωση, μπορούμε να πούμε ότι σε γραμμικά κυκλώματα με αρμονικές επιρροές, όλες οι αντιδράσεις έχουν επίσης αρμονική μορφή. Επομένως, σε οποιοδήποτε γραμμικό κύκλωμα, όλες οι στιγμιαίες τάσεις και ρεύματα έχουν την ίδια αρμονική μορφή. Εάν το κύκλωμα περιέχει τουλάχιστον μερικά στοιχεία, τότε υπάρχουν πολλές ημιτονοειδείς καμπύλες, αυτά τα διαγράμματα χρονισμού επικαλύπτονται, είναι πολύ δύσκολο να τα διαβάσετε και η μελέτη γίνεται εξαιρετικά άβολη.

Για αυτούς τους λόγους, η μελέτη διεργασιών που συμβαίνουν σε κυκλώματα υπό αρμονικές επιρροές δεν πραγματοποιείται ημιτονοειδείς καμπύλες και χρησιμοποιώντας διανύσματα, τα μήκη των οποίων λαμβάνονται ανάλογα με τις μέγιστες τιμές των καμπυλών και τις γωνίες στις οποίες τα διανύσματα τοποθετούνται ίσες με τις γωνίες μεταξύ της αρχής δύο καμπυλών ή της αρχής της καμπύλης και της αρχής.Έτσι, αντί για διαγράμματα χρόνου, που καταλαμβάνουν πολύ χώρο, οι εικόνες τους εμφανίζονται με τη μορφή διανυσμάτων, δηλαδή ευθείες γραμμές με βέλη στα άκρα και τα βέλη για διανύσματα τάσης εμφανίζονται σκιασμένα και για διανύσματα ρεύματος μένουν ασκιά.

Το σύνολο των διανυσμάτων των τάσεων και των ρευμάτων σε ένα κύκλωμα ονομάζεται διανυσματικό διάγραμμα… Ο κανόνας για τη μέτρηση των γωνιών στα διανυσματικά διαγράμματα είναι ο εξής: εάν είναι απαραίτητο να εμφανιστεί ένα διάνυσμα που υστερεί από την αρχική θέση κατά κάποια γωνία, τότε περιστρέψτε το διάνυσμα δεξιόστροφα κατά αυτήν τη γωνία. Ένα διάνυσμα που περιστρέφεται αριστερόστροφα σημαίνει προώθηση κατά την καθορισμένη γωνία.

Για παράδειγμα, στο διάγραμμα του σχ. Το 1 δείχνει τρία διαγράμματα χρονισμού με τα ίδια πλάτη αλλά διαφορετικές αρχικές φάσεις... Επομένως, τα μήκη των διανυσμάτων που αντιστοιχούν σε αυτές τις αρμονικές τάσεις πρέπει να είναι ίδια και οι γωνίες να είναι διαφορετικές. Ας σχεδιάσουμε αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων, πάρουμε τον οριζόντιο άξονα με θετικές τιμές ως αρχή, σε αυτήν την περίπτωση το διάνυσμα της πρώτης τάσης πρέπει να συμπίπτει με το θετικό μέρος του οριζόντιου άξονα, το διάνυσμα της δεύτερης τάσης πρέπει να περιστρέφεται δεξιόστροφα κατά γωνία ψ2, και το τρίτο διάνυσμα τάσης πρέπει να είναι αριστερόστροφα. βέλη υπό γωνία (Εικ. 1).

Τα μήκη των διανυσμάτων εξαρτώνται από την επιλεγμένη κλίμακα, μερικές φορές σχεδιάζονται με αυθαίρετο μήκος σύμφωνα με τις αναλογίες. Δεδομένου ότι οι μέγιστες και rms τιμές όλων των αρμονικών μεγεθών διαφέρουν πάντα κατά τον ίδιο αριθμό φορών (σε √2 = 1,41), τότε οι μέγιστες και οι τιμές rms μπορούν να απεικονιστούν σε διανυσματικά διαγράμματα.

Το διάγραμμα χρονισμού δείχνει την τιμή της αρμονικής συνάρτησης ανά πάσα στιγμή σύμφωνα με την εξίσωση ti = Um sin ωt. Ένα διανυσματικό γράφημα μπορεί επίσης να εμφανίσει τις τιμές σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε το διάνυσμα που περιστρέφεται αριστερόστροφα με γωνιακή ταχύτητα ω και να λάβουμε την προβολή αυτού του διανύσματος στον κατακόρυφο άξονα. Τα προκύπτοντα μήκη προβολής θα υπακούουν στον νόμο ti = Um sinωt και επομένως αντιπροσωπεύουν στιγμιαίες τιμές στην ίδια κλίμακα. Η φορά περιστροφής του διανύσματος αριστερόστροφα θεωρείται θετική και δεξιόστροφα θεωρείται αρνητική.

Σύκο. 1

Σύκο. 2

Σύκο. 3

Εξετάστε ένα παράδειγμα προσδιορισμού στιγμιαίων τιμών τάσης χρησιμοποιώντας ένα διανυσματικό διάγραμμα. Στη δεξιά πλευρά του σχ. Το 2 δείχνει ένα διάγραμμα χρόνου και στα αριστερά ένα διανυσματικό διάγραμμα. Έστω η αρχική γωνία φάσης μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, τη στιγμή t = 0, η στιγμιαία τιμή της τάσης είναι μηδέν και το διάνυσμα που αντιστοιχεί σε αυτό το χρονικό διάγραμμα συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης, την προβολή αυτού του διανύσματος στον κατακόρυφο άξονα αυτή τη στιγμή είναι επίσης μηδέν, t .is το μήκος της προβολής ταιριάζει με τη στιγμιαία τιμή του ημιτονοειδούς κύματος.

Μετά το χρόνο t = T / 8, η γωνία φάσης γίνεται ίση με 45 ° και η στιγμιαία τιμή Um sin ωt = Um sin 45 ° = = 0,707 Um. Αλλά το διάνυσμα ακτίνας κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου θα περιστρέφεται επίσης υπό γωνία 45 ° και η προβολή αυτού του διανύσματος θα γίνει επίσης 0,707 Um. Μετά από t = T / 4, η στιγμιαία τιμή της καμπύλης θα φτάσει στο U, αλλά το διάνυσμα ακτίνας περιστρέφεται επίσης κατά 90 °. Η προβολή στον κατακόρυφο άξονα σε αυτό το σημείο θα γίνει ίση με το ίδιο το διάνυσμα, το μήκος του οποίου είναι ανάλογο με τη μέγιστη τιμή.Ομοίως, μπορείτε να προσδιορίσετε τις τρέχουσες τιμές ανά πάσα στιγμή.

Έτσι, όλες οι πράξεις που με τον ένα ή τον άλλο τρόπο πρέπει να εκτελούνται με ημιτονοειδείς καμπύλες ανάγονται σε πράξεις που εκτελούνται όχι με τα ίδια τα ημιτονοειδή, αλλά με τις εικόνες τους, δηλαδή με τα αντίστοιχα διανύσματά τους. Για παράδειγμα, υπάρχει ένα κύκλωμα στο σχ. 3, α, στο οποίο είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η ισοδύναμη καμπύλη των στιγμιαίων τιμών τάσης. Προκειμένου να δημιουργηθεί μια γενικευμένη καμπύλη γραφικά, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί μια πολύ δυσκίνητη λειτουργία γραφικής προσθήκης δύο καμπυλών που γεμίζουν με σημεία (Εικ. 3, β). Για να προσθέσετε αναλυτικά δύο ημιτονοειδή, είναι απαραίτητο να βρείτε τη μέγιστη τιμή του ισοδύναμου ημιτονοειδούς:

και την αρχική φάση

(Σε αυτό το παράδειγμα, το Um eq λαμβάνεται ίσο με 22,36 και το ψek = 33 °.) Και οι δύο τύποι είναι περίπλοκοι, εξαιρετικά άβολοι για υπολογισμούς, επομένως στην πράξη χρησιμοποιούνται σπάνια.

Ας αντικαταστήσουμε τώρα τα χρονικά ημιτονοειδή με τις εικόνες τους, δηλαδή με διανύσματα. Ας επιλέξουμε μια κλίμακα και ας αφήσουμε στην άκρη το διάνυσμα Um1, το οποίο υστερεί από την αρχή των συντεταγμένων κατά 30, και το διάνυσμα Um2, που έχει μήκος 2 φορές μεγαλύτερο από το διάνυσμα Um1, προωθώντας την αρχή των συντεταγμένων κατά 60 ° (Εικ. 3, γ). Το σχέδιο μετά από μια τέτοια αντικατάσταση απλοποιείται σημαντικά, αλλά όλοι οι τύποι υπολογισμού παραμένουν οι ίδιοι, καθώς η διανυσματική εικόνα των ημιτονοειδών μεγεθών δεν αλλάζει την ουσία του θέματος: απλοποιείται μόνο το σχέδιο, αλλά όχι οι μαθηματικές σχέσεις σε αυτό (διαφορετικά, η αντικατάσταση των χρονοδιαγραμμάτων με διάνυσμα θα ήταν απλώς παράνομη.)

Έτσι, η αντικατάσταση των αρμονικών μεγεθών με τις διανυσματικές τους αναπαραστάσεις εξακολουθεί να μην διευκολύνει την τεχνική υπολογισμού εάν αυτοί οι υπολογισμοί πρόκειται να εκτελεστούν σύμφωνα με τους νόμους των λοξών τριγώνων. Προκειμένου να απλοποιηθεί δραστικά η τεχνολογία υπολογισμού διανυσματικών μεγεθών, μια συμβολική μέθοδος υπολογισμού.