Γραφικοί τρόποι εμφάνισης εναλλασσόμενου ρεύματος

Βασικά στοιχεία της τριγωνομετρίας

Η εκμάθηση AC είναι πολύ δύσκολη εάν ο μαθητής δεν έχει κατακτήσει τις βασικές πληροφορίες της τριγωνομετρίας. Ως εκ τούτου, τις βασικές διατάξεις της τριγωνομετρίας, που μπορεί να χρειαστούν στο μέλλον, δίνουμε στην αρχή αυτού του άρθρου.

Είναι γνωστό ότι στη γεωμετρία συνηθίζεται, όταν εξετάζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, να ονομάζουμε την πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία υποτείνουσα. Οι πλευρές που γειτονεύουν σε ορθή γωνία ονομάζονται πόδια. Η ορθή γωνία είναι 90°. Έτσι στο σχ. 1, η υποτείνουσα είναι η πλευρά που υποδεικνύεται με τα γράμματα Ο, τα πόδια είναι οι πλευρές ab και aO.

Στο σχήμα, σημειώνεται ότι η ορθή γωνία είναι 90 °, οι άλλες δύο γωνίες του τριγώνου είναι οξείες και υποδεικνύονται με τα γράμματα α (άλφα) και β (βήτα).

Εάν μετρήσετε τις πλευρές ενός τριγώνου σε μια συγκεκριμένη κλίμακα και λάβετε την αναλογία του μεγέθους του σκέλους απέναντι από τη γωνία α προς την τιμή της υποτείνουσας, τότε αυτή η αναλογία ονομάζεται ημίτονο της γωνίας α. Το ημίτονο μιας γωνίας συνήθως συμβολίζεται αμαρτία α. Επομένως, στο ορθογώνιο τρίγωνο που εξετάζουμε, το ημίτονο της γωνίας είναι:

Εάν κάνετε τον λόγο παίρνοντας την τιμή του σκέλους aO, δίπλα στην οξεία γωνία α, προς την υποτείνουσα, τότε αυτός ο λόγος ονομάζεται συνημίτονο της γωνίας α. Το συνημίτονο της γωνίας συνήθως συμβολίζεται ως εξής: cos α . Έτσι, το συνημίτονο της γωνίας a είναι ίσο με:

Ρύζι. 1. Ορθογώνιο τρίγωνο.

Γνωρίζοντας το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας α, μπορείτε να προσδιορίσετε το μέγεθος των ποδιών. Αν πολλαπλασιάσουμε την τιμή της υποτείνουσας Ο με το sin α, παίρνουμε το σκέλος ab. Πολλαπλασιάζοντας την υποτείνουσα με το cos α, παίρνουμε το σκέλος Oa.

Ας υποθέσουμε ότι η γωνία άλφα δεν παραμένει σταθερή, αλλά σταδιακά αλλάζει, αυξάνοντας. Όταν η γωνία είναι μηδέν, το ημίτονο του είναι επίσης μηδέν, αφού η περιοχή απέναντι από τη γωνία του σκέλους είναι μηδέν.

Καθώς η γωνία a αυξάνεται, το ημίτονο του θα αρχίσει επίσης να αυξάνεται. Η μεγαλύτερη τιμή του ημιτόνου θα ληφθεί όταν η γωνία άλφα γίνει ευθεία, δηλαδή θα είναι ίση με 90 °. Σε αυτή την περίπτωση, το ημίτονο ισούται με ενότητα. Έτσι, το ημίτονο της γωνίας μπορεί να έχει τη μικρότερη τιμή — 0 και η μεγαλύτερη — 1. Για όλες τις ενδιάμεσες τιμές της γωνίας, το ημίτονο είναι ένα σωστό κλάσμα.

Το συνημίτονο της γωνίας θα είναι μεγαλύτερο όταν η γωνία είναι μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, το συνημίτονο είναι ίσο με τη μονάδα, καθώς το σκέλος που βρίσκεται δίπλα στη γωνία και η υποτείνουσα σε αυτήν την περίπτωση θα συμπίπτουν μεταξύ τους και τα τμήματα που αντιπροσωπεύονται από αυτά είναι ίσα μεταξύ τους. Όταν η γωνία είναι 90 °, το συνημίτονό του είναι μηδέν.

Γραφικοί τρόποι εμφάνισης εναλλασσόμενου ρεύματος

Ημιτονοειδή εναλλασσόμενο ρεύμα ή emf που μεταβάλλεται με το χρόνο μπορεί να απεικονιστεί ως ημιτονοειδές κύμα. Αυτός ο τύπος αναπαράστασης χρησιμοποιείται συχνά στην ηλεκτρική μηχανική. Μαζί με την αναπαράσταση ενός εναλλασσόμενου ρεύματος με τη μορφή ημιτονοειδούς κύματος, χρησιμοποιείται ευρέως και η αναπαράσταση ενός τέτοιου ρεύματος με τη μορφή διανυσμάτων.

Ένα διάνυσμα είναι μια ποσότητα που έχει συγκεκριμένη σημασία και κατεύθυνση. Αυτή η τιμή αναπαρίσταται ως ευθύγραμμο τμήμα με ένα βέλος στο τέλος. Το βέλος πρέπει να δείχνει την κατεύθυνση του διανύσματος και το τμήμα που μετράται σε μια συγκεκριμένη κλίμακα δίνει το μέγεθος του διανύσματος.

Όλες οι φάσεις του εναλλασσόμενου ημιτονοειδούς ρεύματος σε μία περίοδο μπορούν να αναπαρασταθούν χρησιμοποιώντας διανύσματα που ενεργούν ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι η αρχή του διανύσματος βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου και το άκρο του βρίσκεται στον ίδιο τον κύκλο. Αυτό το αριστερόστροφα περιστρεφόμενο διάνυσμα κάνει μια πλήρη περιστροφή σε χρόνο που αντιστοιχεί σε μια περίοδο μεταβολής του ρεύματος.

Ας τραβήξουμε από το σημείο που ορίζει την αρχή του διανύσματος, δηλαδή από το κέντρο του κύκλου Ο, δύο γραμμές: η μία οριζόντια και η άλλη κάθετη, όπως φαίνεται στο σχ.

Εάν για κάθε θέση του περιστρεφόμενου διανύσματος από το άκρο του, που συμβολίζεται με το γράμμα Α, χαμηλώσουμε τις κάθετες σε μια κατακόρυφη γραμμή, τότε τα τμήματα αυτής της γραμμής από το σημείο Ο στη βάση της κάθετου a θα μας δώσουν στιγμιαίες τιμές του ημιτονοειδούς εναλλασσόμενου ρεύματος και το ίδιο το διάνυσμα ΟΑ σε μια συγκεκριμένη κλίμακα απεικονίζει το πλάτος αυτού του ρεύματος, δηλαδή την υψηλότερη τιμή του. Τα τμήματα Oa κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα ονομάζονται προβολές του διανύσματος ΟΑ στον άξονα y.

Ρύζι. 2. Εικόνα αλλαγών ημιτονοειδούς ρεύματος χρησιμοποιώντας διάνυσμα.

Δεν είναι δύσκολο να επαληθεύσετε την εγκυρότητα των παραπάνω εκτελώντας την παρακάτω κατασκευή. Κοντά στον κύκλο στο σχήμα, μπορείτε να πάρετε ένα ημιτονοειδές κύμα που αντιστοιχεί στην αλλαγή της μεταβλητής emf. σε μια περίοδο, εάν στην οριζόντια γραμμή σχεδιάσουμε τις μοίρες που καθορίζουν τη φάση αλλαγής στο EMF και στην κατακόρυφη διεύθυνση κατασκευάσουμε τμήματα ίσα με το μέγεθος της προβολής του διανύσματος ΟΑ στον κατακόρυφο άξονα.Έχοντας πραγματοποιήσει μια τέτοια κατασκευή για όλα τα σημεία του κύκλου κατά μήκος των οποίων ολισθαίνει το άκρο του διανύσματος ΟΑ, λαμβάνουμε το Σχ. 3.

Η πλήρης περίοδος της τρέχουσας αλλαγής και, κατά συνέπεια, η περιστροφή του διανύσματος που την αντιπροσωπεύει, μπορεί να αναπαρασταθεί όχι μόνο σε μοίρες ενός κύκλου, αλλά και σε ακτίνια.

Μια γωνία μιας μοίρας αντιστοιχεί στο 1/360 ενός κύκλου που περιγράφεται από την κορυφή του. Για να μετρήσετε αυτή ή εκείνη τη γωνία σε μοίρες σημαίνει να βρείτε πόσες φορές μια τέτοια στοιχειώδης γωνία περιέχεται στη μετρούμενη γωνία.

Ωστόσο, όταν μετράτε γωνίες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ακτίνια αντί για μοίρες. Στην περίπτωση αυτή, η μονάδα με την οποία συγκρίνεται η μία ή η άλλη γωνία είναι η γωνία στην οποία αντιστοιχεί το τόξο, ίση σε μήκος με την ακτίνα κάθε κύκλου που περιγράφεται από την κορυφή της μετρούμενης γωνίας.

Ρύζι. 3. Κατασκευή του ημιτονοειδούς EMF που αλλάζει σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο.

Έτσι, η συνολική γωνία που αντιστοιχεί σε κάθε κύκλο, μετρημένη σε μοίρες, είναι 360 °. Αυτή η γωνία, μετρημένη σε ακτίνια, είναι ίση με 2 π — 6,28 ακτίνια.

Η θέση του διανύσματος σε μια δεδομένη στιγμή μπορεί να εκτιμηθεί από τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του και από το χρόνο που έχει περάσει από την αρχή της περιστροφής, δηλαδή από την αρχή της περιόδου. Αν συμβολίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα του διανύσματος με το γράμμα ω (ωμέγα) και το χρόνο από την αρχή της περιόδου με το γράμμα t, τότε η γωνία περιστροφής του διανύσματος ως προς την αρχική του θέση μπορεί να προσδιοριστεί ως γινόμενο. :

Η γωνία περιστροφής του διανύσματος καθορίζει τη φάση του, η οποία αντιστοιχεί στο ένα ή στο άλλο στιγμιαία τιμή ρεύματος… Επομένως, η γωνία περιστροφής ή η γωνία φάσης μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε τη στιγμιαία τιμή που έχει το ρεύμα τη στιγμή που μας ενδιαφέρει. Η γωνία φάσης συχνά ονομάζεται απλά φάση.

Φάνηκε παραπάνω ότι η γωνία πλήρους περιστροφής του διανύσματος, εκφρασμένη σε ακτίνια, είναι ίση με 2π. Αυτή η πλήρης περιστροφή του διανύσματος αντιστοιχεί σε μία περίοδο εναλλασσόμενου ρεύματος. Πολλαπλασιάζοντας τη γωνιακή ταχύτητα ω με το χρόνο T που αντιστοιχεί σε μία περίοδο, λαμβάνουμε την πλήρη περιστροφή του διανύσματος εναλλασσόμενου ρεύματος, εκφρασμένη σε ακτίνια.

Επομένως, δεν είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ότι η γωνιακή ταχύτητα ω είναι ίση με:

Αντικαθιστώντας την περίοδο T με την αναλογία 1 / f, παίρνουμε:

Η γωνιακή ταχύτητα ω σύμφωνα με αυτή τη μαθηματική σχέση ονομάζεται συχνά γωνιακή συχνότητα.

Διανυσματικά διαγράμματα

Εάν δεν ενεργεί ένα ρεύμα σε ένα κύκλωμα εναλλασσόμενου ρεύματος, αλλά δύο ή περισσότερα, τότε η αμοιβαία σχέση τους αναπαρίσταται εύκολα γραφικά. Η γραφική αναπαράσταση των ηλεκτρικών μεγεθών (ρεύμα, emf και τάση) μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Μία από αυτές τις μεθόδους είναι η γραφική παράσταση ημιτονοειδών που δείχνουν όλες τις φάσεις της αλλαγής της ηλεκτρικής ποσότητας κατά τη διάρκεια μιας περιόδου. Σε ένα τέτοιο σχήμα, μπορείτε να δείτε, πρώτα απ 'όλα, ποια είναι η αναλογία των μέγιστων τιμών των ερευνούμενων ρευμάτων, emf. και το άγχος.

Στο σχ. Το 4 δείχνει δύο ημιτονοειδή που χαρακτηρίζουν τις αλλαγές σε δύο διαφορετικά εναλλασσόμενα ρεύματα. Αυτά τα ρεύματα έχουν την ίδια περίοδο και είναι σε φάση, αλλά οι μέγιστες τιμές τους είναι διαφορετικές.

Ρύζι. 4. Ημιτονοειδή ρεύματα σε φάση.

Το ρεύμα I1 έχει μεγαλύτερο πλάτος από το ρεύμα I2. Ωστόσο, τα ρεύματα ή οι τάσεις μπορεί να μην είναι πάντα σε φάση. Αρκετά συχνά συμβαίνει οι φάσεις τους να είναι διαφορετικές. Σε αυτή την περίπτωση λέγεται ότι είναι εκτός φάσης. Στο σχ. Το 5 δείχνει ημιτονοειδή δύο ρευμάτων μετατόπισης φάσης.

Ρύζι. 5. Ημιτονοειδή ρεύματα μετατοπισμένα κατά 90 °.

Η γωνία φάσης μεταξύ τους είναι 90 °, που είναι το ένα τέταρτο της περιόδου.Το σχήμα δείχνει ότι η μέγιστη τιμή του ρεύματος I2 εμφανίζεται νωρίτερα κατά το ένα τέταρτο της περιόδου από τη μέγιστη τιμή του ρεύματος I1. Το ρεύμα I2 οδηγεί τη φάση I1 κατά ένα τέταρτο, δηλαδή κατά 90 °. Η ίδια σχέση μεταξύ των ρευμάτων μπορεί να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας διανύσματα.

Στο σχ. Το 6 δείχνει δύο διανύσματα με ίσα ρεύματα. Αν θυμηθούμε ότι η φορά περιστροφής των διανυσμάτων έχει συμφωνηθεί να λαμβάνεται αριστερόστροφα, τότε γίνεται προφανές ότι το τρέχον διάνυσμα Ι2 που περιστρέφεται στη συμβατική κατεύθυνση προηγείται του τρέχοντος διανύσματος Ι1. Το ρεύμα I2 οδηγεί το ρεύμα I1. Το ίδιο σχήμα δείχνει ότι η γωνία απαγωγής είναι 90 °. Αυτή η γωνία είναι η γωνία φάσης μεταξύ I1 και I2. Η γωνία φάσης συμβολίζεται με το γράμμα φ (phi). Αυτός ο τρόπος εμφάνισης ηλεκτρικών μεγεθών χρησιμοποιώντας διανύσματα ονομάζεται διανυσματικό διάγραμμα.

Ρύζι. 6. Διανυσματικό διάγραμμα ρευμάτων, μετατόπιση φάσης κατά 90 °.

Κατά τη σχεδίαση διανυσματικών διαγραμμάτων, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να απεικονίζονται κύκλοι κατά μήκος των οποίων τα άκρα των διανυσμάτων ολισθαίνουν κατά τη διαδικασία της φανταστικής περιστροφής τους.

Χρησιμοποιώντας διανυσματικά διαγράμματα, δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι μόνο ηλεκτρικά μεγέθη με την ίδια συχνότητα, δηλαδή την ίδια γωνιακή ταχύτητα περιστροφής των διανυσμάτων, μπορούν να απεικονιστούν σε ένα διάγραμμα.