Ο νόμος Biot-Savart και το θεώρημα της κυκλοφορίας του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής

Το 1820, οι Γάλλοι επιστήμονες Jean-Baptiste Biot και Félix Savard, κατά τη διάρκεια κοινών πειραμάτων για τη μελέτη των μαγνητικών πεδίων συνεχών ρευμάτων, διαπίστωσαν κατηγορηματικά ότι η μαγνητική επαγωγή ενός συνεχούς ρεύματος που ρέει μέσω ενός αγωγού μπορεί να θεωρηθεί το αποτέλεσμα του γενική δράση όλων των τμημάτων αυτού του σύρματος με ρεύμα. Αυτό σημαίνει ότι το μαγνητικό πεδίο υπακούει στην αρχή της υπέρθεσης (αρχή της υπέρθεσης των πεδίων).

Το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από μια ομάδα συρμάτων DC έχει τα εξής μαγνητική επαγωγήότι η τιμή του ορίζεται ως το διανυσματικό άθροισμα των μαγνητικών επαγωγών που δημιουργεί ο κάθε αγωγός χωριστά. Δηλαδή, η επαγωγή Β του αγωγού συνεχούς ρεύματος μπορεί να αναπαρασταθεί από το διανυσματικό άθροισμα των στοιχειωδών επαγωγών dB που ανήκουν στα στοιχειώδη τμήματα dl του θεωρούμενου αγωγού συνεχούς ρεύματος I.

Είναι πρακτικά μη ρεαλιστικό να απομονωθεί ένα στοιχειώδες τμήμα ενός αγωγού συνεχούς ρεύματος, επειδή D.C. πάντα κλειστό.Αλλά μπορείτε να μετρήσετε τη συνολική μαγνητική επαγωγή που δημιουργείται από ένα σύρμα, δηλαδή, που παράγεται από όλα τα στοιχειώδη μέρη ενός δεδομένου σύρματος.

Έτσι, ο νόμος του Biot-Sovar σάς επιτρέπει να βρείτε την τιμή της μαγνητικής επαγωγής Β του τμήματος (γνωστού μήκους dl) του αγωγού, με δεδομένο συνεχές ρεύμα I, σε μια ορισμένη απόσταση r από αυτό το τμήμα του αγωγού και σε ορισμένη κατεύθυνση παρατήρησης από το επιλεγμένο τμήμα (ορίζεται μέσα από το ημίτονο της γωνίας μεταξύ της κατεύθυνσης του ρεύματος και της κατεύθυνσης από το τμήμα του αγωγού έως το εξεταζόμενο σημείο στο χώρο κοντά στον αγωγό):

Διαπιστώθηκε πειραματικά ότι η κατεύθυνση του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής προσδιορίζεται εύκολα από τη δεξιά βίδα ή τον κανόνα του αντίζυγου: εάν η κατεύθυνση της μεταφορικής κίνησης του αντίζυγου κατά την περιστροφή του συμπίπτει με την κατεύθυνση του συνεχούς ρεύματος I στο σύρμα, τότε φορά περιστροφής της λαβής του αντίζυγου καθορίζει την κατεύθυνση του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής Β που παράγεται από ένα δεδομένο ρεύμα.

Το μαγνητικό πεδίο ενός ευθύγραμμου σύρματος που μεταφέρει ρεύμα, καθώς και μια απεικόνιση της εφαρμογής του νόμου του Bio-Savart σε αυτό, φαίνονται στο σχήμα:

Έτσι, αν ενσωματώσουμε, δηλαδή προσθέσουμε, τη συμβολή καθενός από τα μικρά τμήματα ενός αγωγού σταθερού ρεύματος στο συνολικό μαγνητικό πεδίο, παίρνουμε έναν τύπο για την εύρεση της μαγνητικής επαγωγής ενός αγωγού ρεύματος σε μια ορισμένη ακτίνα R από αυτόν .

Με τον ίδιο τρόπο, χρησιμοποιώντας το νόμο του Bio-Savard, μπορείτε να υπολογίσετε τις μαγνητικές επαγωγές από συνεχή ρεύματα διαφορετικών διαμορφώσεων και σε ορισμένα σημεία του χώρου, για παράδειγμα, η μαγνητική επαγωγή στο κέντρο ενός κυκλικού κυκλώματος με ρεύμα βρίσκεται από το παρακάτω τύπος:

Η κατεύθυνση του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής βρίσκεται εύκολα σύμφωνα με τον κανόνα του αντίζυγου, μόνο τώρα το αντίζυγο πρέπει να περιστραφεί προς την κατεύθυνση του κλειστού ρεύματος και η προς τα εμπρός κίνηση του αντίζυγου θα δείξει την κατεύθυνση του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής.

Συχνά οι υπολογισμοί σε σχέση με το μαγνητικό πεδίο μπορούν να απλοποιηθούν εάν λάβουμε υπόψη τη συμμετρία της διαμόρφωσης των ρευμάτων που δίνεται από το πεδίο παραγωγής. Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα της κυκλοφορίας του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής (όπως το θεώρημα Gauss στην ηλεκτροστατική). Τι είναι η «κυκλοφορία του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής»;

Ας επιλέξουμε στο διάστημα έναν συγκεκριμένο κλειστό βρόχο αυθαίρετου σχήματος και ας υποδείξουμε υπό όρους τη θετική κατεύθυνση της διαδρομής του.Για κάθε σημείο αυτού του βρόχου, μπορείτε να βρείτε την προβολή του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής Β στην εφαπτομένη του βρόχου σε αυτό το σημείο. Τότε το άθροισμα των γινομένων αυτών των ποσοτήτων με τα στοιχειώδη μήκη όλων των τμημάτων του περιγράμματος είναι η κυκλοφορία του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής Β κατά μήκος αυτού του περιγράμματος:

Πρακτικά όλα τα ρεύματα που δημιουργούν ένα γενικό μαγνητικό πεδίο εδώ μπορούν είτε να διεισδύσουν στο υπό εξέταση κύκλωμα, είτε μερικά από αυτά μπορεί να βρίσκονται εκτός αυτού. Σύμφωνα με το θεώρημα της κυκλοφορίας: η κυκλοφορία του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής Β συνεχών ρευμάτων σε έναν κλειστό βρόχο είναι αριθμητικά ίση με το γινόμενο της μαγνητικής σταθεράς mu0 με το άθροισμα όλων των συνεχών ρευμάτων που διαπερνούν τον βρόχο. Αυτό το θεώρημα διατυπώθηκε από τον Andre Marie Ampere το 1826:

Εξετάστε το παραπάνω σχήμα. Εδώ, τα ρεύματα I1 και I2 διεισδύουν στο κύκλωμα, αλλά κατευθύνονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις, πράγμα που σημαίνει ότι έχουν υπό όρους διαφορετικά σημάδια.Το θετικό πρόσημο θα έχει ρεύμα του οποίου η διεύθυνση μαγνητικής επαγωγής (σύμφωνα με τον βασικό κανόνα) συμπίπτει με την κατεύθυνση της παράκαμψης του επιλεγμένου κυκλώματος. Για αυτήν την περίπτωση, το θεώρημα κυκλοφορίας έχει τη μορφή:

Γενικά, το θεώρημα για την κυκλοφορία του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής Β προκύπτει από την αρχή της υπέρθεσης του μαγνητικού πεδίου και τον νόμο Biot-Savard.

Για παράδειγμα, εξάγουμε τον τύπο για τη μαγνητική επαγωγή ενός αγωγού συνεχούς ρεύματος. Ας επιλέξουμε ένα περίγραμμα σε μορφή κύκλου, από το κέντρο του οποίου περνά αυτό το σύρμα, και το σύρμα είναι κάθετο στο επίπεδο του περιγράμματος.

Έτσι το κέντρο του κύκλου βρίσκεται ακριβώς στο κέντρο του αγωγού, δηλαδή στον αγωγό. Δεδομένου ότι η εικόνα είναι συμμετρική, το διάνυσμα Β κατευθύνεται εφαπτομενικά στον κύκλο και η προβολή του στην εφαπτομένη είναι επομένως η ίδια παντού και ισούται με το μήκος του διανύσματος Β. Το θεώρημα κυκλοφορίας γράφεται ως εξής:

Επομένως, ακολουθεί ο τύπος για τη μαγνητική επαγωγή ενός ευθύγραμμου αγωγού με συνεχές ρεύμα (ο τύπος αυτός έχει ήδη δοθεί παραπάνω). Ομοίως, χρησιμοποιώντας το θεώρημα της κυκλοφορίας, μπορεί κανείς εύκολα να βρει τις μαγνητικές επαγωγές συμμετρικών διαμορφώσεων DC όπου η εικόνα των γραμμών πεδίου είναι εύκολο να οπτικοποιηθεί.

Ένα από τα πρακτικά σημαντικά παραδείγματα εφαρμογής του θεωρήματος της κυκλοφορίας είναι η εύρεση του μαγνητικού πεδίου μέσα σε ένα δακτυλιοειδές πηνίο.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα δακτυλιοειδές πηνίο τυλιγμένο στρογγυλό σε ένα πλαίσιο από χαρτόνι σε σχήμα ντόνατ με τον αριθμό των στροφών N. Σε αυτή τη διαμόρφωση, οι γραμμές μαγνητικής επαγωγής περικλείονται μέσα στο ντόνατ και έχουν σχήμα ομόκεντρους (η μία μέσα στην άλλη) κύκλους .

Αν κοιτάξετε προς την κατεύθυνση του διανύσματος μαγνητικής επαγωγής κατά μήκος του εσωτερικού άξονα του ντόνατ, αποδεικνύεται ότι το ρεύμα κατευθύνεται παντού δεξιόστροφα (σύμφωνα με τον κανόνα του αντίζυμου). Σκεφτείτε μια από τις γραμμές (που φαίνεται με κόκκινο) μαγνητικής επαγωγής μέσα στο πηνίο και επιλέξτε την ως κυκλικό βρόχο ακτίνας r. Τότε το θεώρημα κυκλοφορίας για ένα δεδομένο κύκλωμα γράφεται ως εξής:

Και η μαγνητική επαγωγή του πεδίου μέσα στο πηνίο θα είναι ίση με:

Για ένα λεπτό δακτυλιοειδές πηνίο, όπου το μαγνητικό πεδίο είναι σχεδόν ομοιόμορφο σε ολόκληρη τη διατομή του, είναι δυνατό να γραφεί η έκφραση για τη μαγνητική επαγωγή σαν μια σωληνοειδές απείρου μήκους, λαμβάνοντας υπόψη τον αριθμό των στροφών ανά μονάδα μήκους — n :

Σκεφτείτε τώρα ένα απείρως μακρύ σωληνοειδές όπου το μαγνητικό πεδίο είναι εξ ολοκλήρου μέσα. Εφαρμόζουμε το θεώρημα κυκλοφορίας στο επιλεγμένο ορθογώνιο περίγραμμα.

Εδώ το διάνυσμα μαγνητικής επαγωγής θα δώσει μια μη μηδενική προβολή μόνο στην πλευρά 2 (το μήκος του είναι ίσο με L). Χρησιμοποιώντας την παράμετρο n — «ο αριθμός στροφών ανά μονάδα μήκους», παίρνουμε μια τέτοια μορφή του θεωρήματος της κυκλοφορίας, η οποία τελικά μειώνεται στην ίδια μορφή όπως για ένα σπειροειδές πηνίο multitonCoy: