Νόμοι της Άλγεβρας Κυκλωμάτων Επαφής, Άλγεβρα Boole

Μια αναλυτική καταγραφή της δομής και των συνθηκών λειτουργίας των κυκλωμάτων ρελέ καθιστά δυνατή τη διεξαγωγή αναλυτικών ισοδύναμων μετασχηματισμών κυκλωμάτων, δηλαδή μετασχηματίζοντας δομικούς τύπους, βρίσκοντας σχήματα παρόμοια στη λειτουργία τους. Οι μέθοδοι μετατροπής έχουν αναπτυχθεί πλήρως ειδικά για δομικούς τύπους που εκφράζουν κυκλώματα επαφής.

Για κυκλώματα επαφής, χρησιμοποιείται η μαθηματική συσκευή της άλγεβρας της λογικής, πιο συγκεκριμένα, μια από τις απλούστερες ποικιλίες της, που ονομάζεται λογισμός πρότασης ή άλγεβρα Boole (από τον μαθηματικό του περασμένου αιώνα J. Boole).

Ο προτασιακός λογισμός αναπτύχθηκε αρχικά για να μελετήσει την εξάρτηση (την αλήθεια ή το ψεύδος των σύνθετων κρίσεων για την αλήθεια ή το λάθος των απλών προτάσεων που τις συνθέτουν. Στην ουσία, ο προτασιακός λογισμός είναι μια άλγεβρα δύο αριθμών, δηλαδή μια άλγεβρα σε το οποίο κάθε μεμονωμένο όρισμα και κάθε συνάρτηση μπορεί να έχει μία από τις δύο τιμές.

Αυτό καθορίζει τη δυνατότητα χρήσης της άλγεβρας Boole για τον μετασχηματισμό κυκλωμάτων επαφής, καθώς καθένα από τα ορίσματα (επαφές) που περιλαμβάνονται στον δομικό τύπο μπορεί να λάβει μόνο δύο τιμές, δηλαδή μπορεί να είναι κλειστή ή ανοιχτή και ολόκληρη η συνάρτηση αντιπροσωπεύεται από τη δομική ο τύπος μπορεί να εκφράζει είτε έναν κλειστό είτε έναν ανοιχτό βρόχο.

Η άλγεβρα Boole εισάγει:

1) αντικείμενα που, όπως στη συνηθισμένη άλγεβρα, έχουν ονόματα: ανεξάρτητες μεταβλητές και συναρτήσεις — ωστόσο, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη άλγεβρα, στην άλγεβρα Boole και τα δύο μπορούν να λάβουν μόνο δύο τιμές: 0 και 1.

2) βασικές λογικές πράξεις:

• λογική πρόσθεση (ή διαχωρισμός, λογική OR, που συμβολίζεται με το σύμβολο ?), η οποία ορίζεται ως εξής: το αποτέλεσμα της πράξης είναι 0 εάν και μόνο εάν όλα τα ορίσματα της πράξης είναι ίσα με 0, διαφορετικά το αποτέλεσμα είναι 1.

• λογικός πολλαπλασιασμός (ή συνένωση, λογικό ΚΑΙ, συμβολίζεται με ?, ή δεν προσδιορίζεται καθόλου) ο οποίος ορίζεται ως εξής: το αποτέλεσμα της πράξης είναι 1 εάν και μόνο εάν όλα τα ορίσματα της πράξης είναι ίσα με 1, διαφορετικά το αποτέλεσμα είναι 0;

• άρνηση (ή αντίστροφα, λογικό ΟΧΙ, υποδεικνύεται από μια γραμμή πάνω από το όρισμα), η οποία ορίζεται ως εξής: το αποτέλεσμα της πράξης έχει την αντίθετη τιμή του ορίσματος.

3) αξιώματα (νόμοι της άλγεβρας Boole), τα οποία ορίζουν τους κανόνες μετασχηματισμού λογικών εκφράσεων.

Σημειώστε ότι καθεμία από τις λογικές πράξεις μπορεί να εκτελεστεί τόσο σε μεταβλητές όσο και σε συναρτήσεις, οι οποίες θα ονομάζονται συναρτήσεις Boolean παρακάτω... Θυμηθείτε ότι, κατ' αναλογία με τη συνηθισμένη άλγεβρα, στην άλγεβρα Boole, η πράξη του λογικού πολλαπλασιασμού έχει προτεραιότητα έναντι της λογικής λειτουργία προσθήκης.

Οι Boolean εκφράσεις σχηματίζονται με το συνδυασμό λογικών πράξεων σε έναν αριθμό αντικειμένων (μεταβλητές ή συναρτήσεις), που ονομάζονται ορίσματα της πράξης.

Ο μετασχηματισμός των λογικών εκφράσεων χρησιμοποιώντας τους νόμους της άλγεβρας Boole συνήθως πραγματοποιείται με στόχο την ελαχιστοποίηση, επειδή όσο πιο απλή είναι η έκφραση, τόσο μικρότερη είναι η πολυπλοκότητα της λογικής αλυσίδας, που είναι η τεχνική υλοποίηση της λογικής έκφρασης.

Οι νόμοι της άλγεβρας Boole παρουσιάζονται ως ένα σύνολο αξιωμάτων και συνεπειών. Αυτά μπορούν να ελεγχθούν πολύ απλά αντικαθιστώντας διαφορετικές τιμές των μεταβλητών.

Το τεχνικό ανάλογο οποιασδήποτε λογικής έκφρασης για μια συνάρτηση Boole είναι ένα λογικό διάγραμμα... Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβλητές από τις οποίες εξαρτάται μια Boolean συνάρτηση συνδέονται με τις εξωτερικές εισόδους αυτού του κυκλώματος, η τιμή μιας Boolean συνάρτησης σχηματίζεται στο εξωτερική έξοδος του κυκλώματος, και κάθε λογική πράξη σε μια λογική έκφραση υλοποιείται από ένα λογικό στοιχείο.

Έτσι, για κάθε σύνολο σημάτων εισόδου στην έξοδο του λογικού κυκλώματος, δημιουργείται ένα σήμα που αντιστοιχεί στην τιμή μιας δυαδικής συνάρτησης αυτού του συνόλου μεταβλητών (στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη σύμβαση: 0 — χαμηλό επίπεδο σήματος , 1 — υψηλό επίπεδο σήματος).

Κατά την κατασκευή λογικών κυκλωμάτων, θα υποθέσουμε ότι οι μεταβλητές τροφοδοτούνται στην είσοδο σε έναν παραφασικό κώδικα (δηλαδή, είναι διαθέσιμες τόσο οι άμεσες όσο και οι αντίστροφες τιμές των μεταβλητών).

Ο Πίνακας 1 δείχνει τις συμβατικές γραφικές ονομασίες ορισμένων λογικών στοιχείων σύμφωνα με το GOST 2.743-91, καθώς και των ξένων ομολόγων τους.

Εκτός από τα στοιχεία που εκτελούν τις τρεις πράξεις της άλγεβρας Boole (AND, OR, NOT), στην καρτέλα. Το 1 δείχνει τα στοιχεία που εκτελούν λειτουργίες που προέρχονται από το κύριο:

— ΚΑΙ -ΟΧΙ — άρνηση του λογικού πολλαπλασιασμού, που ονομάζεται επίσης κίνηση Schaefer (συμβολίζεται με |)

— Ή -ΟΧΙ — άρνηση του λογικού συμπληρώματος, που ονομάζεται επίσης βέλος του Peirce (συμβολίζεται με ?)

Συνδέοντας σειριακά λογικές πύλες μεταξύ τους, μπορείτε να εφαρμόσετε οποιαδήποτε συνάρτηση Boolean.

Οι δομικοί τύποι που εκφράζουν κυκλώματα ρελέ γενικά, δηλαδή περιέχουν σύμβολα αετών που αντιδρούν, δεν μπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις δύο τιμών που εκφράζουν μόνο κλειστό ή ανοιχτό κύκλωμα. Επομένως, όταν εργάζεστε με τέτοιες συναρτήσεις, προκύπτουν μια σειρά από νέες εξαρτήσεις που υπερβαίνουν τα όρια της άλγεβρας Boole.

Στην άλγεβρα Boole, υπάρχουν τέσσερα ζεύγη βασικών νόμων: δύο μετατοπίσεις, δύο συνδυαστικές, δύο διανεμητικές και δύο νομικές αντιστροφές. Αυτοί οι νόμοι καθιερώνουν την ισοδυναμία διαφορετικών εκφράσεων, δηλαδή θεωρούν εκφράσεις που μπορούν να αντικατασταθούν μεταξύ τους όπως η αντικατάσταση των ταυτοτήτων στη συνηθισμένη άλγεβρα. Ως σύμβολο ισοδυναμίας παίρνουμε το σύμβολο που είναι ίδιο με το σύμβολο ισότητας στη συνηθισμένη άλγεβρα (=).

Η εγκυρότητα των νόμων της άλγεβρας Boole για κυκλώματα επαφής θα εξακριβωθεί εξετάζοντας κυκλώματα που αντιστοιχούν στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά ισοδύναμων παραστάσεων.

Ταξιδιωτικοί νόμοι

Για να προσθέσετε: x + y = y + x

Τα σχηματικά σχήματα που αντιστοιχούν σε αυτές τις εκφράσεις φαίνονται στο Σχ. 1, α.

Το αριστερό και το δεξί κυκλώματα είναι συνήθως ανοιχτά κυκλώματα, καθένα από τα οποία κλείνει όταν ένα από τα στοιχεία (Χ ή Υ) ενεργοποιηθεί, δηλαδή αυτά τα κυκλώματα είναι ισοδύναμα. Για πολλαπλασιασμό: x ·y = y ·NS.

Τα σχηματικά σχήματα που αντιστοιχούν σε αυτές τις εκφράσεις φαίνονται στο Σχ. 1β, η ισοδυναμία τους είναι επίσης προφανής.

Ρύζι. 1

Νόμοι του Συνδυασμού

Για πρόσθεση: (x + y) + z = x + (y + z)

Για πολλαπλασιασμό: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Τα ζεύγη ισοδύναμων κυκλωμάτων που αντιστοιχούν σε αυτές τις εκφράσεις φαίνονται στο Σχ. 2, α, β

Ρύζι. 2

Νόμοι διανομής

Πολλαπλασιασμός έναντι πρόσθεσης: (x + y) +z = x + (y + z)

Πρόσθεση εναντίον πολλαπλασιασμού. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Τα σχηματικά σχήματα που αντιστοιχούν σε αυτές τις εκφράσεις φαίνονται στο Σχ. 3, α, β.

Ρύζι. 3.

Η ισοδυναμία αυτών των σχημάτων μπορεί εύκολα να επαληθευτεί λαμβάνοντας υπόψη διαφορετικούς συνδυασμούς ενεργοποίησης επαφής.

Νόμοι της αντιστροφής

Επί προσθήκης: NS + c = NS·c

Η γραμμή πάνω από την αριστερή πλευρά της έκφρασης είναι σύμβολο άρνησης ή αντιστροφής. Αυτό το σύμβολο υποδηλώνει ότι ολόκληρη η συνάρτηση έχει την αντίθετη σημασία σε σχέση με την έκφραση κάτω από το πρόσημο άρνησης. Δεν είναι δυνατό να σχεδιάσουμε ένα διάγραμμα που αντιστοιχεί σε ολόκληρη την αντίστροφη συνάρτηση, αλλά μπορεί κανείς να σχεδιάσει ένα διάγραμμα που αντιστοιχεί στην έκφραση κάτω από το αρνητικό πρόσημο. Έτσι, ο τύπος μπορεί να απεικονιστεί με τα διαγράμματα που φαίνονται στο Σχ. 4, α.

Ρύζι. 4.

Το αριστερό διάγραμμα αντιστοιχεί στην έκφραση x + y και το δεξί στο NS ·c

Αυτά τα δύο κυκλώματα είναι αντίθετα μεταξύ τους στη λειτουργία, δηλαδή: εάν το αριστερό κύκλωμα με μη διεγερμένα στοιχεία X, Y είναι ανοιχτό κύκλωμα, τότε το δεξί κύκλωμα είναι κλειστό. Εάν στο αριστερό κύκλωμα, όταν ενεργοποιηθεί ένα από τα στοιχεία, το κύκλωμα κλείνει και στο δεξιό κύκλωμα, αντίθετα, ανοίγει.

Εφόσον, με τον ορισμό του αρνητικού πρόσημου, η συνάρτηση x + y είναι το αντίστροφο της συνάρτησης x + y, τότε είναι προφανές ότι x + y = NS·in.

Σχετικά με τον πολλαπλασιασμό: NS · c = NS + c

Τα αντίστοιχα σχήματα φαίνονται στο σχ. 4, β.

Μετατοπιστική και συνδυαστική και νόμοι και ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση (αντιστοιχούν σε παρόμοιους νόμους της συνηθισμένης άλγεβρας).Επομένως, στην περίπτωση μετασχηματισμού δομικών τύπων με τη σειρά πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού όρων, τοποθέτησης όρων εκτός παρενθέσεων και επέκτασης αγκύλων, μπορείτε να ακολουθήσετε τους κανόνες που έχουν θεσπιστεί για την εργασία με συνηθισμένες αλγεβρικές εκφράσεις. Ο κατανεμητικός νόμος της πρόσθεσης σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό και οι νόμοι της αντιστροφής είναι συγκεκριμένοι για την άλγεβρα Boole.