Σειρά και παράλληλη σύνδεση αντιστάσεων

Σειρά σύνδεση αντιστάσεων

Πάρτε τρεις σταθερές αντιστάσεις R1, R2 και R3 και συνδέστε τις στο κύκλωμα έτσι ώστε το τέλος της πρώτης αντίστασης R1 να συνδεθεί στην αρχή της δεύτερης αντίστασης R2, το τέλος της δεύτερης - στην αρχή του τρίτου R3, και στην αρχή της πρώτης αντίστασης και στο τέλος της τρίτης, αφαιρούμε τα καλώδια από την πηγή ρεύματος (Εικ. 1).

Αυτή η σύνδεση των αντιστάσεων ονομάζεται σειρά. Προφανώς, το ρεύμα σε ένα τέτοιο κύκλωμα θα είναι το ίδιο σε όλα τα σημεία του.

Ρύζι 1… Σειρά σύνδεση αντιστάσεων

Πώς προσδιορίζουμε τη συνολική αντίσταση ενός κυκλώματος αν γνωρίζουμε ήδη όλες τις αντιστάσεις που συνδέονται σε αυτό σε σειρά; Χρησιμοποιώντας τη θέση ότι η τάση U στους ακροδέκτες της πηγής ρεύματος είναι ίση με το άθροισμα των πτώσεων τάσης στα τμήματα του κυκλώματος, μπορούμε να γράψουμε:

U = U1 + U2 + U3

που

U1 = IR1 U2 = IR2 και U3 = IR3

ή

IR = IR1 + IR2 + IR3

Εκτελώντας τη δεξιά πλευρά της ισότητας I σε παρένθεση, παίρνουμε IR = I (R1 + R2 + R3).

Τώρα διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το I, τελικά θα έχουμε R = R1 + R2 + R3

Έτσι καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι όταν οι αντιστάσεις συνδέονται σε σειρά, η συνολική αντίσταση ολόκληρου του κυκλώματος είναι ίση με το άθροισμα των αντιστάσεων των επιμέρους τμημάτων.

Ας επαληθεύσουμε αυτό το συμπέρασμα με το ακόλουθο παράδειγμα. Πάρτε τρεις σταθερές αντιστάσεις των οποίων οι τιμές είναι γνωστές (π.χ. R1 == 10 ohms, R2 = 20 ohms και R3 = 50 ohms). Ας τα συνδέσουμε σε σειρά (Εικ. 2) και ας συνδέσουμε σε μια πηγή ρεύματος της οποίας το EMF είναι 60 V (εσωτερική αντίσταση της πηγής ρεύματος αφρόντιστος).

Ρύζι. 2. Παράδειγμα σειριακής σύνδεσης τριών αντιστάσεων

Ας υπολογίσουμε τι μετρήσεις πρέπει να δίνουν οι συνδεδεμένες συσκευές όπως φαίνεται στο διάγραμμα αν κλείσουμε το κύκλωμα. Προσδιορίστε την εξωτερική αντίσταση του κυκλώματος: R = 10 + 20 + 50 = 80 ohms.

Βρείτε το ρεύμα στο κύκλωμα Νόμος του Ohm: 60 / 80= 0,75 Α.

Γνωρίζοντας το ρεύμα στο κύκλωμα και την αντίσταση των τμημάτων του, προσδιορίζουμε την πτώση τάσης σε κάθε τμήμα του κυκλώματος U1 = 0,75x 10 = 7,5 V, U2 = 0,75 x 20 = 15 V, U3 = 0,75 x 50 = 37,5 V .

Γνωρίζοντας την πτώση τάσης στα τμήματα, προσδιορίζουμε τη συνολική πτώση τάσης στο εξωτερικό κύκλωμα, δηλαδή την τάση στους ακροδέκτες της πηγής ρεύματος U = 7,5 + 15 + 37,5 = 60 V.

Παίρνουμε με τέτοιο τρόπο ώστε U = 60 V, δηλαδή η ανύπαρκτη ισότητα του EMF της πηγής ρεύματος και της τάσης της. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι έχουμε παραμελήσει την εσωτερική αντίσταση της πηγής ρεύματος.

Έχοντας κλείσει το κλειδί Κ, μπορούμε να πείσουμε τον εαυτό μας από τα εργαλεία ότι οι υπολογισμοί μας είναι περίπου σωστοί.

Παράλληλη σύνδεση αντιστάσεων

Πάρτε δύο σταθερές αντιστάσεις R1 και R2 και συνδέστε τις έτσι ώστε η αρχή αυτών των αντιστάσεων να περιλαμβάνεται σε ένα κοινό σημείο α και τα άκρα σε ένα άλλο κοινό σημείο β. Συνδέοντας τότε τα σημεία a και b με μια πηγή ρεύματος, παίρνουμε ένα κλειστό ηλεκτρικό κύκλωμα. Αυτή η σύνδεση των αντιστάσεων ονομάζεται παράλληλη σύνδεση.

Εικόνα 3. Παράλληλη σύνδεση αντιστάσεων

Ας παρακολουθήσουμε τη ροή ρεύματος σε αυτό το κύκλωμα. Από τον θετικό πόλο της πηγής ρεύματος μέσω του καλωδίου σύνδεσης, το ρεύμα θα φτάσει στο σημείο α. Στο σημείο α διακλαδώνεται, γιατί εδώ το ίδιο το κύκλωμα διακλαδίζεται σε δύο ξεχωριστούς κλάδους: τον πρώτο κλάδο με αντίσταση R1 και τον δεύτερο με αντίσταση R2. Ας υποδηλώσουμε τα ρεύματα σε αυτούς τους κλάδους με I1 και Az2, αντίστοιχα. Κάθε ένα από αυτά τα ρεύματα θα πάρει τον δικό του κλάδο στο σημείο β. Σε αυτό το σημείο τα ρεύματα θα συγχωνευθούν σε ένα ενιαίο ρεύμα που θα φτάσει στον αρνητικό πόλο της πηγής ρεύματος.

Έτσι, όταν οι αντιστάσεις συνδέονται παράλληλα, προκύπτει ένα κύκλωμα διακλάδωσης. Ας δούμε ποια θα είναι η αναλογία μεταξύ των ρευμάτων στο κύκλωμά μας.

Συνδέστε το αμπερόμετρο μεταξύ του θετικού πόλου της πηγής ρεύματος (+) και του σημείου α και σημειώστε την μέτρησή του. Στη συνέχεια, συνδέοντας το αμπερόμετρο (που φαίνεται στο σχήμα με τη διακεκομμένη γραμμή) στο σημείο του καλωδίου σύνδεσης b με τον αρνητικό πόλο της πηγής ρεύματος (-), σημειώνουμε ότι η συσκευή θα δείξει το ίδιο μέγεθος ισχύος ρεύματος.

Σημαίνει ρεύμα κυκλώματος πριν από τη διακλάδωσή του (στο σημείο α) είναι ίση με την ισχύ του ρεύματος μετά τη διακλάδωση του κυκλώματος (μετά το σημείο β).

Τώρα θα ενεργοποιήσουμε το αμπερόμετρο με τη σειρά σε κάθε κλάδο του κυκλώματος, απομνημονεύοντας τις μετρήσεις της συσκευής. Αφήστε το αμπερόμετρο να δείξει το ρεύμα στον πρώτο κλάδο I1 και στον δεύτερο - Az2.Προσθέτοντας αυτές τις δύο ενδείξεις αμπερόμετρου, λαμβάνουμε ένα συνολικό ρεύμα ίσο σε μέγεθος με το ρεύμα Iz πριν από τη διακλάδωση (στο σημείο α).

Επομένως, η ισχύς του ρεύματος που ρέει στο σημείο διακλάδωσης είναι ίση με το άθροισμα των δυνάμεων των ρευμάτων που ρέουν από αυτό το σημείο. I = I1 + I2 Εκφράζοντας αυτό με τον τύπο, παίρνουμε

Αυτή η αναλογία, η οποία έχει μεγάλη πρακτική σημασία, ονομάζεται νόμος της διακλαδισμένης αλυσίδας.

Ας εξετάσουμε τώρα ποια θα είναι η αναλογία μεταξύ των ρευμάτων στους κλάδους.

Ας συνδέσουμε ένα βολτόμετρο μεταξύ των σημείων α και β και ας δούμε τι δείχνει. Πρώτον, το βολτόμετρο θα δείξει την τάση της πηγής ρεύματος καθώς είναι συνδεδεμένη, όπως φαίνεται από το σχ. 3 απευθείας στους ακροδέκτες της πηγής ρεύματος. Δεύτερον, το βολτόμετρο θα δείξει πτώση τάσης. U1 και U2 στις αντιστάσεις R1 και R2 καθώς συνδέεται με την αρχή και το τέλος κάθε αντίστασης.

Επομένως, όταν οι αντιστάσεις συνδέονται παράλληλα, η τάση στους ακροδέκτες της πηγής ρεύματος είναι ίση με την πτώση τάσης σε κάθε αντίσταση.

Αυτό μας επιτρέπει να γράψουμε ότι U = U1 = U2,

όπου U είναι η τερματική τάση της πηγής ρεύματος. U1 — πτώση τάσης αντίστασης R1, U2 — πτώση τάσης αντίστασης R2. Θυμηθείτε ότι η πτώση τάσης σε ένα τμήμα ενός κυκλώματος είναι αριθμητικά ίση με το γινόμενο του ρεύματος που διαρρέει αυτό το τμήμα από την αντίσταση διατομής U = IR.

Επομένως, για κάθε κλάδο μπορείτε να γράψετε: U1 = I1R1 και U2 = I2R2, αλλά αφού U1 = U2, τότε I1R1 = I2R2.

Εφαρμόζοντας τον κανόνα της αναλογίας σε αυτήν την έκφραση, παίρνουμε I1 / I2 = U2 / U1, δηλαδή, το ρεύμα στον πρώτο κλάδο θα είναι τόσες φορές περισσότερο (ή λιγότερο) από το ρεύμα στον δεύτερο κλάδο, πόσες φορές η αντίσταση του πρώτου κλάδου είναι μικρότερη (ή μεγαλύτερη) από την αντίσταση του δεύτερου κλάδου.

Έτσι, καταλήξαμε σε ένα σημαντικό συμπέρασμα που είναι ότι με την παράλληλη σύνδεση των αντιστάσεων, το συνολικό ρεύμα του κυκλώματος διακλαδίζεται σε ρεύματα αντιστρόφως ανάλογα με τις τιμές αντίστασης των παράλληλων κλάδων. Με άλλα λόγια, όσο μεγαλύτερη είναι η αντίσταση του κλάδου, τόσο λιγότερο ρεύμα θα ρέει μέσα από αυτόν και, αντίθετα, όσο μικρότερη είναι η αντίσταση του κλάδου, τόσο μεγαλύτερο το ρεύμα θα διαρρέει αυτόν τον κλάδο.

Ας ελέγξουμε την ορθότητα αυτής της εξάρτησης στο παρακάτω παράδειγμα. Ας συνθέσουμε ένα κύκλωμα που αποτελείται από δύο παράλληλες συνδεδεμένες αντιστάσεις R1 και R2 συνδεδεμένες σε μια πηγή ισχύος. Έστω R1 = 10 ohms, R2 = 20 ohms και U = 3 V.

Ας υπολογίσουμε πρώτα τι θα μας δείξει το αμπερόμετρο που είναι συνδεδεμένο σε κάθε κλάδο:

I1 = U / R1 = 3/10 = 0,3 A = 300 mA

Az2 = U / R2 = 3/20 = 0,15 A = 150 mA

Συνολικό ρεύμα στο κύκλωμα I = I1 +I2 = 300 + 150 = 450 mA

Ο υπολογισμός μας επιβεβαιώνει ότι όταν οι αντιστάσεις συνδέονται παράλληλα, το ρεύμα στο κύκλωμα διακλαδίζεται αντιστρόφως ανάλογο με τις αντιστάσεις.

Πραγματικά, το R1 == 10 ohms είναι το μισό του μεγέθους του R2 = 20 ohms, ενώ το I1 = 300 mA δύο φορές το I2 = 150 mA. Συνολικό ρεύμα στο κύκλωμα I = 450 mA χωρισμένο σε δύο μέρη, έτσι ώστε το μεγαλύτερο μέρος του (I1 = 300 mA) να διέρχεται από τη χαμηλότερη αντίσταση (R1 = 10 Ohm) και το μικρότερο μέρος (R2 = 150 mA) - μεγαλύτερη αντίσταση (R2 = 20 ohms).

Αυτή η διακλάδωση του ρεύματος σε παράλληλους κλάδους είναι παρόμοια με τη ροή του υγρού μέσω των σωλήνων.Φανταστείτε έναν σωλήνα Α που σε κάποιο σημείο διακλαδίζεται σε δύο σωλήνες Β και Γ διαφορετικών διαμέτρων (Εικ. 4). Δεδομένου ότι η διάμετρος του σωλήνα Β είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο των σωλήνων C, περισσότερο νερό θα ρέει μέσω του σωλήνα Β ταυτόχρονα παρά μέσω του σωλήνα C, ο οποίος έχει μεγαλύτερη αντίσταση στη ροή του νερού.

Ρύζι. 4… Λιγότερο νερό θα περάσει μέσα από έναν λεπτό σωλήνα στο ίδιο χρονικό διάστημα από ό,τι μέσα από έναν παχύ.

Ας εξετάσουμε τώρα ποια θα είναι η συνολική αντίσταση ενός εξωτερικού κυκλώματος που αποτελείται από δύο αντιστάσεις συνδεδεμένες παράλληλα.

Με αυτό, η συνολική αντίσταση του εξωτερικού κυκλώματος θα πρέπει να γίνει κατανοητή ως μια τέτοια αντίσταση που θα μπορούσε να αντικαταστήσει και τις δύο παράλληλα συνδεδεμένες αντιστάσεις σε μια δεδομένη τάση κυκλώματος χωρίς να αλλάξει το ρεύμα πριν από τη διακλάδωση. Αυτή η αντίσταση ονομάζεται ισοδύναμη αντίσταση.

Ας επιστρέψουμε στο κύκλωμα που φαίνεται στο Σχ. 3 και δείτε ποια θα είναι η ισοδύναμη αντίσταση δύο αντιστάσεων που συνδέονται παράλληλα. Εφαρμόζοντας το νόμο του Ohm σε αυτό το κύκλωμα, μπορούμε να γράψουμε: I = U / R, όπου I Είναι το ρεύμα στο εξωτερικό κύκλωμα (μέχρι το σημείο διακλάδωσης), U είναι η τάση του εξωτερικού κυκλώματος, R είναι η αντίσταση του εξωτερικού κύκλωμα, δηλαδή την ισοδύναμη αντίσταση.

Ομοίως, για κάθε κλάδο I1 = U1 / R1, I2 = U2 / R2, όπου I1 και I2 — ρεύματα στους κλάδους. U1 και U2 είναι η τάση στους κλάδους. R1 και R2 — αντίσταση διακλάδωσης.

Σύμφωνα με τον νόμο του κυκλώματος διακλάδωσης: I = I1 + I2

Αντικαθιστώντας τις τιμές των ρευμάτων, παίρνουμε U / R = U1 / R1 + U2 / R2

Αφού με παράλληλη σύνδεση U = U1 = U2, τότε μπορούμε να γράψουμε U / R = U / R1 + U / R2

Εκτελώντας το U στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης έξω από τις παρενθέσεις, παίρνουμε U / R = U (1 / R1 + 1 / R2)

Τώρα διαιρώντας και τις δύο πλευρές της ισότητας με το U, έχουμε τελικά 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2

Υπενθυμίζοντας ότι η αγωγιμότητα είναι η αμοιβαία τιμή της αντίστασης, μπορούμε να πούμε ότι στον προκύπτον τύπο 1 / R — αγωγιμότητα του εξωτερικού κυκλώματος. 1 / R1 η αγωγιμότητα του πρώτου κλάδου. 1 / R2- η αγωγιμότητα του δεύτερου κλάδου.

Με βάση αυτόν τον τύπο, συμπεραίνουμε: όταν συνδέονται παράλληλα, η αγωγιμότητα του εξωτερικού κυκλώματος είναι ίση με το άθροισμα των αγωγιμότητας των επιμέρους κλάδων.

Επομένως, για να προσδιοριστεί η ισοδύναμη αντίσταση των αντιστάσεων που συνδέονται παράλληλα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η αγωγιμότητα του κυκλώματος και να ληφθεί η αντίθετη τιμή από αυτό.

Από τον τύπο προκύπτει επίσης ότι η αγωγιμότητα του κυκλώματος είναι μεγαλύτερη από την αγωγιμότητα κάθε κλάδου, πράγμα που σημαίνει ότι η ισοδύναμη αντίσταση του εξωτερικού κυκλώματος είναι μικρότερη από τη μικρότερη από τις αντιστάσεις που συνδέονται παράλληλα.

Λαμβάνοντας υπόψη την περίπτωση της παράλληλης σύνδεσης αντιστάσεων, πήραμε το απλούστερο κύκλωμα που αποτελείται από δύο κλάδους. Στην πράξη, ωστόσο, μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις όπου το κύκλωμα αποτελείται από τρεις ή περισσότερους παράλληλους κλάδους. Τι πρέπει να κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις;

Αποδεικνύεται ότι όλες οι ληφθείσες συνδέσεις παραμένουν έγκυρες για ένα κύκλωμα που αποτελείται από οποιονδήποτε αριθμό αντιστάσεων συνδεδεμένων παράλληλα.

Για να το επαληθεύσετε, εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.

Ας πάρουμε τρεις αντιστάσεις R1 = 10 Ohm, R2 = 20 Ohm και R3 = 60 Ohm και τις συνδέσουμε παράλληλα. Προσδιορίστε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος (Εικ. 5).

Ρύζι. 5. Κύκλωμα με τρεις παράλληλες συνδεδεμένες αντιστάσεις

Εφαρμόζοντας αυτόν τον τύπο κυκλώματος 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2, μπορούμε να γράψουμε 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 και, αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές, παίρνουμε 1 / R= 1 / 10 + 1 / 20 + 1 / 60

Προσθέτουμε αυτά τα κλάσματα: 1 /R = 10/60 = 1/6, δηλαδή η αγωγιμότητα του κυκλώματος είναι 1 / R = 1/6 Επομένως, ισοδύναμη αντίσταση R = 6 ohms.

Επομένως, η ισοδύναμη αντίσταση είναι μικρότερη από τη μικρότερη από τις αντιστάσεις που συνδέονται παράλληλα στο κύκλωμα, τη μικρότερη αντίσταση R1.

Ας δούμε τώρα εάν αυτή η αντίσταση είναι πραγματικά ισοδύναμη, δηλαδή τέτοια ώστε να μπορεί να αντικαταστήσει τις αντιστάσεις των 10, 20 και 60 ohms που συνδέονται παράλληλα χωρίς να αλλάξει η ισχύς του ρεύματος πριν από τη διακλάδωση του κυκλώματος.

Ας υποθέσουμε ότι η τάση του εξωτερικού κυκλώματος και επομένως η τάση στις αντιστάσεις R1, R2, R3 είναι ίση με 12 V. Τότε η ισχύς των ρευμάτων στους κλάδους θα είναι: I1 = U / R1 = 12/10 = 1,2 A. Az2 = U / R2 = 12 / 20 = 1,6 A. Az3 = U / R1 = 12 / 60 = 0,2 A

Λαμβάνουμε το συνολικό ρεύμα στο κύκλωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο I = I1 + I2 + I3 =1,2 + 0,6 + 0,2 = 2 A.

Ας ελέγξουμε, χρησιμοποιώντας τον τύπο του νόμου του Ohm, εάν θα ληφθεί ρεύμα 2 A στο κύκλωμα εάν, αντί για τρεις γνωστές παράλληλες αντιστάσεις, περιλαμβάνεται μία ισοδύναμη αντίσταση 6 ohms.

I = U/R= 12 / 6 = 2 A

Όπως μπορείτε να δείτε, η αντίσταση R = 6 Ohm που βρήκαμε είναι πράγματι ισοδύναμη για αυτό το κύκλωμα.

Αυτό μπορεί να ελεγχθεί σε μετρητές εάν συναρμολογήσετε ένα κύκλωμα με τις αντιστάσεις που έχουμε λάβει, μετρήσετε το ρεύμα στο εξωτερικό κύκλωμα (πριν από τη διακλάδωση), στη συνέχεια αντικαταστήσετε τις παράλληλες συνδεδεμένες αντιστάσεις με μία αντίσταση 6 Ohm και μετρήσετε ξανά το ρεύμα.Οι ενδείξεις του αμπερόμετρου και στις δύο περιπτώσεις θα είναι περίπου ίδιες.

Στην πράξη, μπορούν να προκύψουν και παράλληλες συνδέσεις, για τις οποίες είναι ευκολότερο να υπολογιστεί η ισοδύναμη αντίσταση, δηλαδή, χωρίς να προσδιοριστούν πρώτα οι αγωγιμότητα, η αντίσταση μπορεί να βρεθεί αμέσως.

Για παράδειγμα, εάν δύο αντιστάσεις συνδέονται παράλληλα R1 και R2, τότε ο τύπος 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2 μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής: 1 / R = (R2 + R1) / R1 R2 και, λύνοντας το ισότητα σε σχέση με το R, παίρνουμε R = R1 NS R2 / (R1 + R2), δηλ. όταν δύο αντιστάσεις συνδέονται παράλληλα, η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος είναι ίση με το γινόμενο των αντιστάσεων που συνδέονται παράλληλα με το άθροισμά τους.