Βασικές αρχές και νόμοι της Άλγεβρας της Λογικής

Ιρλανδός μαθηματικός των μέσων του 19ου αιώνα Τζορτζ Μπουλ ανέπτυξε την άλγεβρα της λογικής («Μελέτη των νόμων της σκέψης»). Ως εκ τούτου λέγεται και η άλγεβρα της λογικής άλγεβρα boole.

Δίνοντας χαρακτηρισμούς γραμμάτων, εκφράζοντας τις πράξεις των λογικών μετασχηματισμών σε σύμβολα ενεργειών και χρησιμοποιώντας τους κανόνες και τα αξιώματα που καθορίζονται για αυτές τις ενέργειες, η άλγεβρα της λογικής επιτρέπει στη διαδικασία συλλογισμού στην επίλυση ενός προβλήματος που δίνεται με όρους λογικής δηλώσεων να περιγραφεί πλήρως σε αλγόριθμους , δηλαδή να έχουμε ένα μαθηματικά γραμμένο πρόγραμμα που να λύνει αυτό το πρόβλημα.

Για να δηλώσει την αλήθεια ή το ψεύδος των δηλώσεων (δηλαδή, να εισαγάγει τιμές για την αξιολόγηση δηλώσεων), η άλγεβρα της λογικής χρησιμοποιεί ένα δυαδικό σύστημα, βολικό σε αυτήν την περίπτωση. Εάν η πρόταση είναι αληθής, παίρνει την τιμή 1, αν είναι ψευδής, παίρνει την τιμή 0. Σε αντίθεση με τους δυαδικούς αριθμούς, τα λογικά 1 και 0 δεν εκφράζουν μια ποσότητα, αλλά μια κατάσταση.

Έτσι, σε ηλεκτρικά κυκλώματα που περιγράφονται χρησιμοποιώντας άλγεβρα Boole, όπου 1 είναι η παρουσία τάσης και 0 είναι η απουσία της, η παροχή τάσεων από πολλές πηγές σε έναν κόμβο του κυκλώματος (δηλαδή, η άφιξη πολλών λογικών μονάδων του) είναι εμφανίζεται επίσης ως λογική μονάδα που υποδεικνύει όχι τη συνολική τάση στον κόμβο, αλλά μόνο την παρουσία του.

Κατά την περιγραφή των σημάτων εισόδου και εξόδου των λογικών κυκλωμάτων, χρησιμοποιούνται μεταβλητές που λαμβάνουν τις τιμές μόνο του λογικού 0 ή 1. Καθορίζεται η εξάρτηση των σημάτων εξόδου από την είσοδο λογική λειτουργία (συνάρτηση)… Ας υποδηλώσουμε τις μεταβλητές εισόδου με X1 και X2, και την έξοδο που προκύπτει από μια λογική πράξη σε αυτές με y.

Ξανασκέψου το τρεις βασικές στοιχειώδεις λογικές πράξεις, με τη βοήθεια των οποίων μπορούν να περιγραφούν όλο και πιο περίπλοκα.

1. Λειτουργία Ή — λογική προσθήκη:

Δεδομένων όλων των πιθανών τιμών των μεταβλητών, μπορεί κανείς να ορίσει τη λειτουργία OR ως την επάρκεια τουλάχιστον μιας μονάδας στην είσοδο για να παραχθεί μία στην έξοδο. Το όνομα της πράξης εξηγείται από τη σημασιολογική σημασία της ένωσης OR στη φράση: «Εάν OR είναι μία είσοδος Ή η δεύτερη είναι μία, τότε η έξοδος είναι μία».

2. Πράξη ΚΑΙ — λογικός πολλαπλασιασμός:

Λαμβάνοντας υπόψη το πλήρες σύνολο τιμών των μεταβλητών, η λειτουργία AND ορίζεται ως η ανάγκη αντιστοίχισης όλων των τιμών στις εισόδους για να ληφθεί ένα στην έξοδο: «Αν AND είναι μία είσοδος και η δεύτερη είναι μία, τότε η έξοδος είναι μία. «

3. Λειτουργία NOT — λογική άρνηση ή αντιστροφή. Υποδεικνύεται με μια γραμμή πάνω από τη μεταβλητή.

Όταν αντιστρέφεται, η τιμή της μεταβλητής αντιστρέφεται.

Βασικοί νόμοι της λογικής άλγεβρας:

1. Ο νόμος του μηδενικού συνόλου: το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού μεταβλητών εξαφανίζεται εάν κάποια από τις μεταβλητές είναι μηδέν, ανεξάρτητα από τις τιμές άλλων μεταβλητών:

2. Ο νόμος του καθολικού συνόλου — το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού μεταβλητών γίνεται ένα εάν τουλάχιστον μία από τις μεταβλητές έχει την τιμή ένα, ανεξάρτητα από άλλες μεταβλητές:

3. Ο Νόμος της Επανάληψης — οι επαναλαμβανόμενες μεταβλητές στην έκφραση μπορούν να παραλειφθούν (με άλλα λόγια, δεν υπάρχει εκθετικός παράγοντας και πολλαπλασιασμός με αριθμητικό συντελεστή στην άλγεβρα Boole):

4. Ο νόμος της διπλής αναστροφής — η αναστροφή που εκτελείται δύο φορές είναι μια κενή πράξη:

5. Νόμος της συμπληρωματικότητας — το γινόμενο κάθε μεταβλητής και το αντίστροφό της είναι μηδέν:

6. Το άθροισμα κάθε μεταβλητής και του αμοιβαίου της είναι ένα:

7. Προστατευτικοί Νόμοι — το αποτέλεσμα της εκτέλεσης πράξεων πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία ακολουθούν οι μεταβλητές:

8. Συνδυαστικοί Νόμοι — κατά τις πράξεις πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης, οι μεταβλητές μπορούν να ομαδοποιηθούν με οποιαδήποτε σειρά:

9. Νόμοι διανομής — επιτρέπεται η τοποθέτηση του συνολικού συντελεστή εκτός παρενθέσεων:

10. Νόμοι απορρόφησης — υποδεικνύουν τρόπους απλούστευσης παραστάσεων που περιλαμβάνουν μια μεταβλητή σε όλους τους παράγοντες και όρους:

11. Οι νόμοι του De Morgan — η αντιστροφή του γινομένου είναι το άθροισμα των αντιστροφών των μεταβλητών:

η αντιστροφή του αθροίσματος είναι το γινόμενο των αντιστροφών των μεταβλητών: