Αριθμητικά συστήματα

Ένα αριθμητικό σύστημα είναι ένα σύνολο κανόνων για την αναπαράσταση αριθμών χρησιμοποιώντας διαφορετικά αριθμητικά σημάδια. Τα αριθμητικά συστήματα ταξινομούνται σε δύο τύπους: μη θέσεις και θέσεις.

Στα συστήματα αριθμών θέσης, η τιμή κάθε ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση που καταλαμβάνει, δηλαδή από τη θέση που καταλαμβάνει στο σύνολο των ψηφίων. Στο ρωμαϊκό σύστημα αριθμών, υπάρχουν μόνο επτά ψηφία: ένα (I), πέντε (V), δέκα (X), πενήντα (L), εκατό (C), πεντακόσια (D), χίλια (M). Χρησιμοποιώντας αυτούς τους αριθμούς (σύμβολα), οι υπόλοιποι αριθμοί γράφονται με πρόσθεση και αφαίρεση. Για παράδειγμα, IV είναι ο συμβολισμός του αριθμού 4 (V — I), VI είναι ο αριθμός 6 (V + I) και ούτω καθεξής. Ο αριθμός 666 είναι γραμμένος στο ρωμαϊκό σύστημα ως εξής: DCLXVI.

Αυτή η σημείωση είναι λιγότερο βολική από αυτήν που χρησιμοποιούμε αυτήν τη στιγμή. Εδώ έξι γράφονται με ένα σύμβολο (VI), έξι δεκάδες με ένα άλλο (LX), εξακόσια τρίτη (DC). Είναι πολύ δύσκολο να εκτελούνται αριθμητικές πράξεις με αριθμούς γραμμένους στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα. Επίσης, ένα κοινό μειονέκτημα των μη θέσεων συστημάτων είναι η πολυπλοκότητα της αναπαράστασης αρκετά μεγάλων αριθμών σε αυτά, έτσι ώστε να οδηγεί σε εξαιρετικά δυσκίνητη σημειογραφία.

Τώρα θεωρήστε τον ίδιο αριθμό 666 στο σύστημα αριθμών θέσης. Σε αυτό, ένα μόνο σύμβολο 6 σημαίνει τον αριθμό των μονάδων εάν βρίσκεται στην τελευταία θέση, τον αριθμό των δεκάδων αν βρίσκεται στην προτελευταία θέση και τον αριθμό των εκατοντάδων εάν βρίσκεται στην τρίτη θέση από το τέλος. Αυτή η αρχή της γραφής αριθμών ονομάζεται τοπική (τοπική). Σε μια τέτοια εγγραφή, κάθε ψηφίο λαμβάνει μια αριθμητική τιμή ανάλογα όχι μόνο με το στυλ του, αλλά και από το πού βρίσκεται όταν γράφεται ο αριθμός.

Στο σύστημα αριθμών θέσης, οποιοσδήποτε αριθμός που αναπαρίσταται ως A = +a1a2a3 … ann-1an μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα

όπου n — πεπερασμένος αριθμός ψηφίων στην εικόνα ενός αριθμού, ii αριθμός i-go ψηφίο, d — βάση του αριθμητικού συστήματος, i — τακτικός αριθμός της κατηγορίας, dm-i — «βάρος» της κατηγορίας i-ro . Τα ψηφία ai πρέπει να ικανοποιούν την ανισότητα 0 <= a <= (d — 1).

Για δεκαδικό συμβολισμό, d = 10 και ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Δεδομένου ότι οι αριθμοί που αποτελούνται από μονάδες και μηδενικά μπορούν να γίνουν αντιληπτοί ως δεκαδικοί ή δυαδικοί αριθμοί όταν χρησιμοποιούνται μαζί, η βάση του συστήματος αριθμών συνήθως υποδεικνύεται, για παράδειγμα (1100) 2-δυαδικό, (1100) 10-δεκαδικό.

Στους ψηφιακούς υπολογιστές χρησιμοποιούνται ευρέως συστήματα εκτός των δεκαδικών: δυαδικά, οκταδικά και δεκαεξαδικά.

Δυαδικό σύστημα

Για αυτό το σύστημα d = 2 και εδώ επιτρέπονται μόνο δύο ψηφία, δηλαδή ai = 0 ή 1.

Κάθε αριθμός που εκφράζεται στο δυαδικό σύστημα αντιπροσωπεύεται ως το άθροισμα του γινόμενου της ισχύος της βάσης δύο φορές το δυαδικό ψηφίο του δεδομένου bit. Για παράδειγμα, ο αριθμός 101,01 μπορεί να γραφτεί ως εξής: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, που αντιστοιχεί στον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα: 4 + 1 + 0,25 = 5,25 .

Στους περισσότερους σύγχρονους ψηφιακούς υπολογιστές, το δυαδικό σύστημα αριθμών χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση αριθμών σε μια μηχανή και την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε αυτούς.

Το δυαδικό σύστημα αριθμών, σε σύγκριση με το δεκαδικό, καθιστά δυνατή την απλοποίηση των κυκλωμάτων και των κυκλωμάτων της αριθμητικής συσκευής και της συσκευής μνήμης και την αύξηση της αξιοπιστίας του υπολογιστή. Το ψηφίο κάθε bit ενός δυαδικού αριθμού αντιπροσωπεύεται από τις καταστάσεις «on/off» τέτοιων στοιχείων όπως τρανζίστορ, δίοδοι, τα οποία λειτουργούν αξιόπιστα στις καταστάσεις «on/off». Τα μειονεκτήματα του δυαδικού συστήματος περιλαμβάνουν την ανάγκη να μεταφραστούν σύμφωνα με ειδικό πρόγραμμα τα αρχικά ψηφιακά δεδομένα στο δυαδικό σύστημα αριθμών και τα αποτελέσματα της απόφασης σε δεκαδικό.

Οκταδικό σύστημα αριθμών

Αυτό το σύστημα έχει βάση d == 8. Οι αριθμοί χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση αριθμών: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Το σύστημα οκταδικού αριθμού χρησιμοποιείται στον υπολογιστή ως βοήθημα στην προετοιμασία προβλημάτων για επίλυση (στη διαδικασία προγραμματισμού), στον έλεγχο της λειτουργίας μιας μηχανής και στον εντοπισμό σφαλμάτων ενός προγράμματος. Αυτό το σύστημα δίνει μια συντομότερη αναπαράσταση του αριθμού από το δυαδικό σύστημα. Το οκταδικό σύστημα αριθμών σάς επιτρέπει απλώς να μεταβείτε στο δυαδικό σύστημα.

Δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών

Αυτό το σύστημα έχει βάση d = 16. 16 χαρακτήρες χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση αριθμών: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F και Οι χαρακτήρες A … F αντιπροσωπεύουν τους δεκαδικούς αριθμούς 10, 11, 12, 13, 14 και 15. Ο δεκαεξαδικός αριθμός (1D4F) 18 θα αντιστοιχεί στο δεκαδικό 7503 επειδή (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

Ο δεκαεξαδικός συμβολισμός επιτρέπει στους δυαδικούς αριθμούς να γράφονται πιο συμπαγή από τον οκταδικό. Βρίσκει εφαρμογή σε συσκευές εισόδου και εξόδου και σε συσκευές εμφάνισης σειράς αριθμών ορισμένων υπολογιστών.

Δυαδικό-δεκαδικό σύστημα αριθμών

Η αναπαράσταση των αριθμών στο δυαδικό-δεκαδικό σύστημα είναι η εξής. Ως βάση λαμβάνεται η δεκαδική σημείωση του αριθμού και, στη συνέχεια, κάθε ψηφίο του (από το 0 έως το 9) γράφεται με τη μορφή ενός τετραψήφιου δυαδικού αριθμού που ονομάζεται τετραψήφιο, δηλαδή, δεν χρησιμοποιείται ούτε ένα σύμβολο για την αναπαράσταση κάθε ψηφίο του δεκαδικού συστήματος, αλλά τέσσερα.

Για παράδειγμα, το δεκαδικό 647,59 θα αντιστοιχεί σε BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Το σύστημα δυαδικών δεκαδικών αριθμών χρησιμοποιείται ως ενδιάμεσο σύστημα αριθμών και για την κωδικοποίηση αριθμών εισόδου και εξόδου.

Κανόνες για τη μεταφορά ενός συστήματος αριθμών σε άλλο

Η ανταλλαγή πληροφοριών μεταξύ συσκευών υπολογιστών πραγματοποιείται κυρίως μέσω αριθμών που αντιπροσωπεύονται στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Ωστόσο, οι πληροφορίες παρουσιάζονται στο χρήστη με αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα και η διεύθυνση εντολών παρουσιάζεται στο οκταδικό σύστημα. Εξ ου και η ανάγκη μεταφοράς αριθμών από το ένα σύστημα στο άλλο κατά τη διαδικασία εργασίας με υπολογιστή. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο γενικό κανόνα.

Για να μετατρέψετε έναν ακέραιο αριθμό από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε άλλο, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό με τη βάση του νέου συστήματος έως ότου το πηλίκο δεν είναι μικρότερο από τον διαιρέτη. Ο αριθμός στο νέο σύστημα πρέπει να γράφεται με τη μορφή υπολοίπων διαίρεσης, ξεκινώντας από τον τελευταίο, δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε το δεκαδικό 1987 σε δυαδικό:

Ο δεκαδικός αριθμός 1987 σε δυαδική μορφή είναι 11111000011, δηλ. (1987)10 = (11111000011)2

Κατά την αλλαγή από οποιοδήποτε σύστημα σε δεκαδικό, ο αριθμός αντιπροσωπεύεται ως το άθροισμα των δυνάμεων της βάσης με τους αντίστοιχους συντελεστές και στη συνέχεια υπολογίζεται η τιμή του αθροίσματος.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε τον οκταδικό αριθμό 123 σε δεκαδικό: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, δηλ. (123)8 = (83)10

Για να μεταφέρετε το κλασματικό μέρος ενός αριθμού από οποιοδήποτε σύστημα σε άλλο, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε διαδοχικό πολλαπλασιασμό αυτού του κλάσματος και των κλασματικών μερών του γινομένου που προκύπτουν με βάση το νέο σύστημα αριθμών. Το κλασματικό μέρος ενός αριθμού στο νέο σύστημα σχηματίζεται με τη μορφή ολόκληρων τμημάτων των προϊόντων που προκύπτουν, ξεκινώντας από το πρώτο. Η διαδικασία πολλαπλασιασμού συνεχίζεται μέχρι να υπολογιστεί ένας αριθμός με δεδομένη ακρίβεια.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε το δεκαδικό κλάσμα 0,65625 στο δυαδικό σύστημα αριθμών:

Δεδομένου ότι το κλασματικό μέρος του πέμπτου γινομένου αποτελείται μόνο από μηδενικά, ο περαιτέρω πολλαπλασιασμός δεν είναι απαραίτητος. Αυτό σημαίνει ότι το δεδομένο δεκαδικό μετατρέπεται σε δυαδικό χωρίς σφάλμα, δηλ. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Η μετατροπή από οκταδικό και δεκαεξαδικό σε δυαδικό και αντίστροφα δεν είναι δύσκολη. Αυτό συμβαίνει επειδή οι βάσεις τους (d — 8 και d — 16) αντιστοιχούν σε ακέραιους αριθμούς των δύο (23 = 8 και 24 = 16).

Για να μετατρέψετε οκταδικούς ή δεκαεξαδικούς αριθμούς σε δυαδικούς, αρκεί να αντικαταστήσετε κάθε έναν από τους αριθμούς τους με έναν τριψήφιο ή τετραψήφιο δυαδικό αριθμό, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, ας μεταφράσουμε τον οκταδικό αριθμό (571)8 και τον δεκαεξαδικό αριθμό (179)16 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Και στις δύο περιπτώσεις παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα, δηλ. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δυαδικό δεκαδικό σε δεκαδικό, πρέπει να αντικαταστήσετε κάθε τετράδιο του αριθμού που αναπαρίσταται σε δυαδικό δεκαδικό με ένα ψηφίο που αναπαρίσταται σε δεκαδικό.

Για παράδειγμα, ας γράψουμε τον αριθμό (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 με δεκαδικό συμβολισμό, δηλ. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)